Modallogik/K/Paradoxe Axiomenschemata/Textabschnitt

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Einen modallogischen Ausdruck nennen wir paradox, wenn er, wenn man alle darin auftretenden (und somit auch alle ) weglässt, einen aussagenlogischen Widerspruch ergibt. Ein modallogisches Axiomenschema heißt paradox, wenn es davon eine paradoxe Instanz gibt.


Definition  

Das modallogische Axiomenschema

nennt man Antiaxiom.

Wenn das Antiaxiom gilt, so ist auch

das Antiaxiom ist also ideologisch. In einer -Modallogik führt das Antiaxiom zu einem Widerspruch, da ja dann zu einer aussagenlogischen Tautologie wegen der Nezessisierungsregel auch und somit der Widerspruch gilt. Wenn man dagegen das Antiaxiom auf Aussagenvariablen beschränkt, also

betrachtet, so ergibt sich ein sinnvolles -System.


Definition  

Das modallogische Axiomenschema

nennt man Löb-Axiom.

Bemerkung  

Für das Ableitungsprädikat

zu einer die Peano-Arithmetik umfassenden entscheidbaren Satzmenge gilt neben den in Bemerkung angeführten Eigenschaften auch der Satz von Löb, nämlich

Wenn man

setzt, so kann man dies als

schreiben, es liegt also genau das Löb-Axiom vor (daher der Name des Axioms). Unter der modallogischen Beweisbarkeitslogik versteht man die -Modallogik, die durch das Löb-Axiom gegeben ist (das Transitivitätsaxiom lässt sich daraus ableiten, siehe Fakt). Es handelt sich um eine paradoxe Modallogik, in der man die Unvollständigkeit nachbbilden kann.


Es sei (gesprochen Falsum) eine Abkürzung für einen Widerspruch. Im Kontext der Beweisbarkeitslogik bedeutet dann die Nichtableitbarkeit eines Widerspruchs, also die Widerspruchsfreiheit des Systems. Aus dem Löb-Axiom (also der -Modallogik , die durch das Löbaxiom gegeben ist) lässt sich ableiten, dass diese Widerspruchsfreiheit ein Fixpunkt der Nichtableitbarkeit ist, d.h. es gilt

siehe Aufgabe. Dies bedeutet insbesondere, dass weder noch aus ableitbar ist (die Widerspruchsfreiheit des Systems ergibt sich aus Fakt  (6)). Insbesondere ist dieses Ableitungssystem unvollständig, was dem ersten Gödelschen Fixpunktsatz entspricht. Darüber hinaus ist die letzte Unableitbarkeit gerade die Aussage des zweiten Gödelschen Fixpunktsatzes, den man also so modallogisch nachbilden kann (die Hauptarbeit liegt aber darin, zu zeigen, dass das arithmetische Ableitungsprädikat das Löb-Axiom erfüllt).