Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Es sei . Dann nennt man den Restklassenmodul

die -te symmetrische Potenz von .

Man geht also von der -ten Tensorpotenz

(mit Faktoren) aus und identifiziert diejenigen Tensorprodukte, die durch eine Permutation ineinander überführt werden können, wobei man sicherstellt, dass wieder ein -Modul entsteht. Zu Elementen nennt man das Element das symmetrische Produkt der Elemente.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und ein freier -Modul mit Basis .

Dann besitzt die -te symmetrische Potenz von die Basis

Beweis  


Wenn

eine lineare Abbildung ist, die durch die Matrix

gegeben ist, so werden die Abbildungen zwischen den symmetrischen Produkten durch die symmetrischen Potenzen von Matrizen. Dabei wird auf abgebildet, und man rechnet wie im Polynomring in zwei Variablen. Bei ist die beschreibende Matrix gleich

bei ist die beschreibende Matrix gleich

bei ist die beschreibende Matrix gleich

Bei Variablen. Wir setzen , und an. Die Matrix ist dann

Die zweite symmetrische Potenz davon ist (in der Reihenfolge )






Lemma  

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine -Matrix, deren Einträge Variablen aus dem Polynomring seien.

Dann sind die Einträge in den symmetrischen Potenzen linear unabhängig über .

Beweis  

Die symmetrische Potenz der Matrix beschreibt die durch die lineare Abbildung induzierte Abbildung des Polynomrings auf sich selbst im Grad . Der Eintrag in der Zeile und Spalte ist also der Koeffizient zu von

Die -te Potenz ist nach dem Multinomialsatz

Um den Koeffizienten zu des gesamten Produktes zu bestimmen, muss man die Einzelprodukte der Form

(mit Vorfaktoren) mit

betrachten. Da die Variablen sind, lässt sich aus dem Monom das Mehrfachtupel rekonstruieren. Dieses legt als Summe und auch über fest. Dies bedeutet, dass jedes in der symmetrischen Potenz einer Variablenmatrix nur in einem Eintrag vorkommt. In Charakteristik sind die Binomialkoeffizienten nicht , daher sind sämtliche Einträge der symmetrischen Potenz linear unabhängig.