Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man den Restklassenmodul

${}S^{n}(M):=T^{n}(M)/\langle \otimes _{i=1}^{n}v_{i}-\otimes _{i=1}^{n}v_{\pi (i)},\,\pi \in S_{n}\rangle \,$

die ${}n$-te symmetrische Potenz von ${}M$.

Man geht also von der ${}n$-ten Tensorpotenz

${}T^{n}(M)=M\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M\,$

(mit ${}n$ Faktoren) aus und identifiziert diejenigen Tensorprodukte, die durch eine Permutation ineinander überführt werden können, wobei man sicherstellt, dass wieder ein ${}R$-Modul entsteht. Zu Elementen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ nennt man das Element ${}v_{1}\cdots v_{n}=[v_{1}[[:Vorlage:Tensordos]]v_{n}]\in S^{n}(M)$ das symmetrische Produkt der Elemente.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein freier ${}R$-Modul mit Basis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$.

Dann besitzt die ${}q$-te symmetrische Potenz von ${}M$ die Basis

$e_{\nu }=e_{1}^{\nu _{1}}\cdots e_{n}^{\nu _{n}},\,\nu \in \mathbb {N} ^{q},\vert {\nu }\vert =q.$

Beweis

Freier Modul/Symmetrische Potenz/Basisbeschreibung/Fakt/Beweis

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Wenn

$M\colon R^{2}\longrightarrow R^{2}$

eine lineare Abbildung ist, die durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$

gegeben ist, so werden die Abbildungen zwischen den symmetrischen Produkten durch die symmetrischen Potenzen von Matrizen. Dabei wird ${}e_{\nu }=e_{1}^{\nu _{1}}e_{2}^{\nu _{2}}$ auf ${}(ae_{1}+ce_{2})^{\nu _{1}}\cdot (be_{1}+de_{2})^{\nu _{2}}$ abgebildet, und man rechnet wie im Polynomring in zwei Variablen. Bei ${}q=2$ ist die beschreibende Matrix gleich

${\begin{pmatrix}a^{2}&ab&b^{2}\\2ac&ad+bc&2bd\\c^{2}&cd&d^{2}\end{pmatrix}},$

bei ${}q=3$ ist die beschreibende Matrix gleich

${\begin{pmatrix}a^{3}&a^{2}b&ab^{3}&b^{3}\\3a^{2}c&a^{2}d+2abc&b^{2}c+2abd&3b^{2}d\\3ac^{2}&bc^{2}+2acd&ad^{2}+2bcd&3bd^{3}\\c^{3}&c^{2}d&cd^{2}&d^{3}\end{pmatrix}},$

bei ${}q=4$ ist die beschreibende Matrix gleich

${\begin{pmatrix}a^{4}&a^{3}b&a^{2}b^{2}&ab^{3}&b^{4}\\4a^{3}c&a^{3}d+3a^{2}bc&2a^{2}bd+2acd^{2}&b^{3}c+3ab^{2}d&4b^{3}d\\6a^{2}c^{2}&3abc^{2}+3a^{2}cd&a^{2}d^{2}+4abcd+b^{2}c^{2}&3abd^{2}+3b^{2}cd&6b^{2}d^{2}\\4ac^{3}&bc^{3}+3ac^{2}d&2a^{2}bd+2acd^{2}&ad^{3}+3bcd^{2}&4bd^{3}\\c^{4}&c^{3}d&c^{2}d^{2}&cd^{3}&d^{4}\end{pmatrix}}.$

Bei ${}3$ Variablen. Wir setzen ${}L_{1}=a_{1}X+a_{2}Y+a_{3}Z$, ${}L_{2}=b_{1}X+b_{2}Y+b_{3}Z$ und ${}L_{3}=c_{1}X+c_{2}Y+c_{3}Z$ an. Die Matrix ist dann

${\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}.$

Die zweite symmetrische Potenz davon ist (in der Reihenfolge $X^{2},XY,XZ,Y^{2},YZ,Z^{2}$)

${\begin{pmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}b_{1}&a_{1}c_{1}&b_{1}^{2}&b_{1}c_{1}&c_{1}^{2}\\2a_{1}a_{2}&a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}&a_{1}c_{2}+a_{2}c_{1}&2b_{1}b_{2}&b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}&2c_{1}c_{2}\\2a_{1}a_{3}&a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}&a_{1}c_{3}+a_{3}c_{1}&2b_{1}b_{3}&b_{1}c_{3}+b_{3}c_{1}&2c_{1}c_{3}\\a_{2}^{2}&a_{2}b_{2}&a_{2}c_{2}&b_{2}^{2}&b_{2}c_{2}&c_{2}^{2}\\2a_{2}a_{3}&a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}&a_{2}c_{3}+a_{3}c_{2}&2b_{2}b_{3}&b_{2}c_{3}+b_{3}c_{2}&2c_{2}c_{3}\\a_{3}^{2}&a_{3}b_{3}&a_{3}c_{3}&b_{3}^{2}&b_{3}c_{3}&c_{3}^{2}\end{pmatrix}}.$

Lemma

Freie Moduln/Lineare Abbildung/Symmetrische Potenz/Matrix/Fakt

Beweis

Freie Moduln/Lineare Abbildung/Symmetrische Potenz/Matrix/Fakt/Beweis

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}M=(t_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ eine ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge Variablen aus dem Polynomring ${}K[t_{ij},\,1\leq i,j\leq n]$ seien.

Dann sind die Einträge in den symmetrischen Potenzen ${}\operatorname {Sym} ^{q}{\left(M\right)}$ linear unabhängig über ${}K$.

Beweis

Die symmetrische Potenz ${}\operatorname {Sym} ^{q}{\left(M\right)}$ der Matrix beschreibt die durch die lineare Abbildung ${}X_{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}t_{ji}X_{j}$ induzierte Abbildung des Polynomrings ${}K(T_{ij})[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ auf sich selbst im Grad ${}q$. Der Eintrag in der Zeile ${}\mu$ und Spalte ${}\nu$ ist also der Koeffizient zu ${}X^{\mu }$ von

${\left(t_{11}X_{1}+\cdots +t_{n1}X_{n}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(t_{1n}X_{1}+\cdots +t_{nn}X_{n}\right)}^{\nu _{n}}.$

Die ${}i$-te Potenz ist nach dem Multinomialsatz

$\sum _{\vert {\lambda _{i}}\vert =\nu _{i}}{{\nu _{i}} \choose \lambda _{i}}\cdot t_{i}^{\lambda _{i}}X^{\lambda _{i}}.$

Um den Koeffizienten zu ${}X^{\mu }$ des gesamten Produktes zu bestimmen, muss man die Einzelprodukte der Form

${}t_{1}^{\lambda _{1}}X^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}X^{\lambda _{n}}=t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}X^{\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}\,$

(mit Vorfaktoren) mit

${}\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=\mu \,$

betrachten. Da die ${}t_{ij}$ Variablen sind, lässt sich aus dem Monom ${}t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}$ das Mehrfachtupel ${}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ rekonstruieren. Dieses legt ${}\mu$ als Summe und auch ${}\nu$ über ${}\nu _{i}=\vert {\lambda _{i}}\vert$ fest. Dies bedeutet, dass jedes ${}t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}$ in der symmetrischen Potenz einer Variablenmatrix nur in einem Eintrag vorkommt. In Charakteristik ${}0$ sind die Binomialkoeffizienten nicht ${}0$, daher sind sämtliche Einträge der symmetrischen Potenz linear unabhängig.

$\Box$