Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln Man nennt ein Diagramm der Form

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln, wenn ein -Untermodul von ist, und wenn ein Restklassenmodul von ist, der isomorph zu ist.

Zu einem Untermodul gehört stets die kurze exakte Sequenz



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, und

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln. Es sei ein Nichtnullteiler für .

Dann ist die Sequenz

ebenfalls exakt.

Beweis  

Die Exaktheit von

ergibt sich wegen

(nach Fakt  (2)) aus der Rechtsexaktheit des Tensorproduktes (Fakt  (2)). Es ist also noch die Injektivität von zu zeigen. Sei hierzu vorgegeben mit der Eigenschaft, dass das Bild davon in gleich ist. Das bedeutet

in mit einem . Wegen

in und der Nichtnullteilereigenschaft ist

Das bedeutet und somit

in .