Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ $R$ -Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form

0 \overset{}{⟶} M_{1} \overset{}{⟶} M_{2} \overset{}{⟶} M_{3} \overset{}{⟶} 0

eine kurze exakte Sequenz von $R$ -Moduln, wenn $M_{1}$ ein $R$ -Untermodul von $M_{2}$ ist, und wenn $M_{3}$ ein Restklassenmodul von $M_{2}$ ist, der isomorph zu $M_{2} / M_{1}$ ist.

Zu einem Untermodul $M_{1} \subseteq M_{2}$ gehört stets die kurze exakte Sequenz

0 ⟶ M_{1} ⟶ M_{2} ⟶ M_{2} / M_{1} ⟶ 0.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und

0 ⟶ M ⟶ N ⟶ P ⟶ 0

eine kurze exakte Sequenz von $R$ -Moduln. Es sei $f \in R$ ein Nichtnullteiler für $P$ .

Dann ist die Sequenz

$0 ⟶ M / f M ⟶ N / f N ⟶ P / f P ⟶ 0$

ebenfalls exakt.

Beweis

Die Exaktheit von

M / f M ⟶ N / f N ⟶ P / f P ⟶ 0

ergibt sich wegen

M / f M = M \otimes_{R} R / (f)

(nach Fakt (2)) aus der Rechtsexaktheit des Tensorproduktes (Fakt (2)). Es ist also noch die Injektivität von $M / f M \to N / f N$ zu zeigen. Es sei hierzu $[m] \in M / f M$ vorgegeben mit der Eigenschaft, dass das Bild davon in $N / f N$ gleich $0$ ist. Das bedeutet

m = n f

in $N$ mit einem $n \in N$ . Wegen

f ψ (n) = ψ (n f) = ψ (m) = 0

in $P$ und der Nichtnullteilereigenschaft ist

ψ (n) = 0 .

Das bedeutet $n \in M$ und somit

[m] = 0

in $M / f M$ .

◻