Natürliche Zahlen/Differenz/Einführung/Textabschnitt

Aus einer Menge mit $a$ Elementen wird eine Teilmenge mit $b$ Elementen ($b\le a$) herausgenommen. Zurück bleibt eine Menge mit $a-b$ Elementen.

Definition

Für natürliche Zahlen

$a\ge b$

ist $a-b$ diejenige natürliche Zahl $c$ für die

$a=b+c$

gilt. Sie heißt die Differenz zwischen $a$ und $b$.

Man mache sich hier die Logik dieser Definition klar: Die Voraussetzung

$a\ge b$

bedeutet nach Fakt die Existenz einer natürlichen Zahl $c$ mit

$a=b+c.$

Dieses $c$ ist aufgrund der Abziehregel durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt. Die Differenz gibt an, wie oft man von $b$ aus den Nachfolger nehmen muss, um zu $a$ zu gelangen. Die charakteristische Eigenschaft ist die Gleichheit

$b+(a-b)=a.$

Dabei ist $a-b$ die einzige Lösung für die Gleichung

$b+x=a.$

Ferner ist  $a-a=0$.  Wenn eine Gleichung  $a+b=c$  gegeben ist, so sagt man beim Übergang zu

$a=c-b$

auch, dass $b$ (beidseitig) abgezogen wird.

Für  $a<b$  ist der Ausdruck $a-b$ innerhalb der natürlichen Zahlen nicht definiert. Da zu  $a,b\in \mathbb{N}$  stets

$a\ge b$

oder

$b\ge a$

gilt, ist einer der beiden Ausdrücke $a-b$ oder $b-a$ eine wohldefinierte natürliche Zahl. Oft nennt man auch diese Zahl, die sich ergibt, wenn man die beiden Zahlen richtig geordnet hat, die Differenz der beiden Zahlen.

Für die Differenz können wir einfach eine mengentheoretische Interpretation angeben.

Satz

Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und es sei

$T\subseteq M$

eine Teilmenge, die $k$ Elemente besitze.

Dann besitzt

$M\setminus T$

genau $m-k$ Elemente.

Beweis

Es ist

$M=T\uplus (M\setminus T)$

eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Fakt

$m=\mathrm{\#}\left(M\right)=\mathrm{\#}\left(T\right)+\mathrm{\#}(M\setminus T)=k+\mathrm{\#}(M\setminus T).$

Somit erfüllt $\mathrm{\#}(M\setminus T)$ die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich $m-k$.

$◻$

Lemma

1. Für natürliche Zahlen $a,b,c$ mit

   $a\ge b$

   ist

   $b+c+(a-b)=c+a.$

   Insbesondere ist  $(a+c)-(b+c)=a-b$  und  $(a+c)-(a-b)=b+c$. 

2. Für natürliche Zahlen $a,b,c,d$ mit

   $a\ge b$

   und

   $c\ge d$

   ist

   $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d).$

   Insbesondere ist bei  $a\ge b$  stets  $(a+c)-b=(a-b)+c$. 

3. Bei

   $b+c\ge a\ge b$

   ist  $c\ge a-b$  und es ist

   $c-(a-b)=(c+b)-a.$

Beweis

1. Aus

   $b+(a-b)=a$

   ergibt sich direkt

   $b+c+(a-b)=c+a.$

   Die Zusätze ergeben sich aus der Eindeutigkeit der Differenz.

2. Wegen Fakt  (2) ist

   $a+c\ge b+d,$

   sodass der Ausdruck links einen Sinn ergibt. Die Rechnung

   $(b+d)+(a-b)+(c-d)=d+a+(c-d)=a+c$

   unter Verwendung der ersten Teils zeigt, dass $(a-b)+(c-d)$ die charakteristische Eigenschaft von $(a+c)-(b+d)$ erfüllt, also wegen der Eindeutigkeit damit übereinstimmt.

3. Nach Teil (2) folgt aus  $a\ge b$  und  $b+c\ge a$  die Beziehung

   $(a-b)+((b+c)-a)=a+b+c-(a+b)=c$

   und insbesondere  $c\ge a-b$.  Beidseitiges Abziehen von $a-b$ ergibt

   $(b+c)-a=c-(a-b).$

$◻$

Die folgende Aussage ist das Distributivgesetz für die Differenz.

Lemma

Es seien $a,b,c$ natürliche Zahlen mit  $a\ge b$. 

Dann ist

$c(a-b)=ca-cb.$

Beweis

Nach Fakt ist mit  $a\ge b$  auch  $ca\ge cb$,  sodass $ca-cb$ wohldefiniert ist. Es ist

$a=(a-b)+b$

und daher ist nach dem Distributivgesetz für die Addition und die Multiplikation

$ca=c((a-b)+b)=c(a-b)+cb.$

Also ist

$c(a-b)=ca-cb.$

$◻$