Natürliche Zahlen/Differenz/Einführung/Textabschnitt

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Aus einer Menge mit Elementen wird eine Teilmenge mit Elementen () herausgenommen. Zurück bleibt eine Menge mit Elementen.


Definition  

Für natürliche Zahlen

ist diejenige natürliche Zahl für die

gilt. Sie heißt die Differenz zwischen und .

Man mache sich hier die Logik dieser Definition klar: Die Voraussetzung

bedeutet nach Fakt die Existenz einer natürlichen Zahl mit

Dieses ist aufgrund der Abziehregel durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt. Die Differenz gibt an, wie oft man von aus den Nachfolger nehmen muss, um zu zu gelangen. Die charakteristische Eigenschaft ist die Gleichheit

Dabei ist die einzige Lösung für die Gleichung

Ferner ist . Wenn eine Gleichung gegeben ist, so sagt man beim Übergang zu

auch, dass (beidseitig) abgezogen wird.

Für ist der Ausdruck innerhalb der natürlichen Zahlen nicht definiert. Da zu stets

oder

gilt, ist einer der beiden Ausdrücke oder eine wohldefinierte natürliche Zahl. Oft nennt man auch diese Zahl, die sich ergibt, wenn man die beiden Zahlen richtig geordnet hat, die Differenz der beiden Zahlen.

Für die Differenz können wir einfach eine mengentheoretische Interpretation angeben.



Satz  

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und es sei

eine Teilmenge, die Elemente besitze.

Dann besitzt

genau Elemente.

Beweis  

Es ist

eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Fakt

Somit erfüllt die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich .




Lemma  

  1. Für natürliche Zahlen mit

    ist

    Insbesondere ist .

  2. Für natürliche Zahlen mit

    und

    ist

    Insbesondere ist bei stets und .

  3. Bei

    ist und es ist

Beweis  

  1. Aus

    ergibt sich direkt

    Der Zusatz ergibt sich aus der Eindeutigkeit der Differenz.

  2. Wegen Fakt  (2) ist

    so dass der Ausdruck links einen Sinn ergibt. Die Rechnung

    unter Verwendung der ersten Teils zeigt, dass die charakteristische Eigenschaft von erfüllt, also wegen der Eindeutigkeit damit übereinstimmt.

  3. Nach Teil (2) folgt aus und die Beziehung

    und insbesondere . Beidseitiges Abziehen von ergibt


Die folgende Aussage ist das Distributivgesetz für die Differenz.



Lemma  

Es seien natürliche Zahlen mit .

Dann ist

Beweis  

Nach Fakt ist mit auch , so dass wohldefiniert ist. Es ist

und daher ist nach dem Distributivgesetz für die Addition und die Multiplikation

Also ist