Natürliche Zahlen/Halbring/Einführung/Textabschnitt

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Wir fassen die bisher etablierten algebraischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen in einem eigenen Begriff zusammen.


Definition  

Ein kommutativer Halbring ist eine Menge mit Verknüpfungen und (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
  2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
  3. Es gilt das Distributivgesetz, also
    für alle .



Korollar  

Die natürlichen Zahlen

bilden einen kommutativen Halbring.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Fakt und aus Fakt.


Neben den natürlichen Zahlen gibt es viele weitere Halbringe, beispielsweise die ganzen Zahlen , die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen . Wenn man eine Eigenschaft aus den Gesetzen eines Halbringes erschließen kann, so gilt diese Eigenschaft in jedem Halbring. Sobald man also für eine Struktur gezeigt hat, dass ein Halbring vorliegt, so hat man damit auch automatisch gezeigt, dass diese neue Eigenschaft gilt. Dies ist letztlich ein sehr ökonomisches Vorgehen! Der Preis ist, dass man zusätzliche Begriffe einführen muss und dass man sehr abstrakt argumentieren muss.

Wir lassen das Produktzeichen häufig weg, wenn das nicht zu Missverständnissen führen kann und wir benutzen allgemein die Klammerkonvention, dass Punktrechnung stärker bindet als Strichrechnung, d.h. wir schreiben einfach statt . An weiteren Notationen verwenden wir für ein Halbringelement und eine positive natürliche Zahl die Schreibweisen (-tes Vielfaches von und -te Potenz von ) und . Hier muss man also richtig die Anzahl der Summanden bzw. die Anzahl der Faktoren zählen. Statt schreiben wir einfach (bzw. manchmal ), d.h. jede natürliche Zahl findet sich in jedem Halbring wieder. Die Schreibweise könnte man dann auch als das Produkt

(mit Einsen) lesen, was aber aufgrund des Distributivgesetzes mit der -fachen Summe von mit sich selbst übereinstimmt. Für

ist dies jedenfalls als im Halbring zu lesen, was nicht ohne weiteres gleich sein muss (aber in allen für uns wichtigen Beispielen gleich ist). Weiter setzen wir

Mit dieser Bezeichnung gilt beispielsweise

und

für natürliche Zahlen (man mache sich klar, was hier jeweils die Multiplikation bezeichnet).

Wie bei den natürlichen Zahlen verwenden wir das Summenzeichen und das Produktzeichen . Für indizierte Elemente aus ist also

und

Die beiden folgenden extremen Beispiele zeigen, wie verschieden ein Halbring von dem Halbring der natürlichen Zahlen sein kann. Dennoch gelten alle aus den Halbringaxiomen ableitbaren Eigenschaften auch in diesen beiden Beispielen.


Beispiel  

Die einelementige Menge kann man zu einem kommutativen Halbring machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch und . In diesem Fall ist , dies ist also ausdrücklich erlaubt. Die Rechengesetze in einem Halbring sind hier trivialerweise erfüllt, da bei jeder zu erfüllenden Gleichung links und rechts sowieso immer herauskommt. Diesen Halbring nennt man den Nullring.


Nach dem Nullring ist der folgende Ring der zweitkleinste Halbring.


Beispiel  

Wir suchen nach einer Halbringstruktur auf der Menge . Wenn das neutrale Element einer Addition und das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon viel festgelegt. Nach Fakt muss

gelten. Ferner legen wir

fest. Die Verknüpfungstabellen (oder Operationstafeln) sehen somit wie folgt aus.



und



Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen kommutativen Halbring handelt.


Eine „natürliche“ Interpretation dieses Halbringes gewinnt man, wenn man sich die geraden natürlichen Zahlen durch und die ungeraden natürlichen Zahlen durch repräsentiert denkt. Beispielsweise ist die Summe zweier ungerader Zahlen stets gerade, was der obigen Gleichung entspricht. Wie oben erwähnt lassen sich in jedem kommutativen Halbring die natürlichen Zahlen eindeutig interpretieren, dabei können aber, wie in den beiden Beispielen, verschiedene Zahlen gleich werden. Im Beispiel wird jede gerade Zahl zu und jede ungerade Zahl zu .