Natürliche Zahlen/Halbring/Einführung/Textabschnitt

Wir fassen die bisher etablierten algebraischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen in einem eigenen Begriff zusammen.

Definition

Ein kommutativer Halbring $R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $0$ das neutrale Element ist.
2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $1$ das neutrale Element ist.
3. Es gilt das Distributivgesetz, also

   $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

   für alle

    $a,b,c\in R$. 

Korollar

Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$

bilden einen kommutativen Halbring.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt und aus Fakt.

$◻$

Neben den natürlichen Zahlen gibt es viele weitere Halbringe, beispielsweise die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$, die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ oder die reellen Zahlen $ℝ$. Wenn man eine Eigenschaft aus den Gesetzen eines Halbringes erschließen kann, so gilt diese Eigenschaft in jedem Halbring. Sobald man also für eine Struktur gezeigt hat, dass ein Halbring vorliegt, so hat man damit auch automatisch gezeigt, dass diese neue Eigenschaft gilt. Dies ist letztlich ein sehr ökonomisches Vorgehen! Der Preis ist, dass man zusätzliche Begriffe einführen muss und dass man sehr abstrakt argumentieren muss.

Wir lassen das Produktzeichen $\cdot$ häufig weg, wenn das nicht zu Missverständnissen führen kann und wir benutzen allgemein die Klammerkonvention, dass Punktrechnung stärker bindet als Strichrechnung, d.h. wir schreiben einfach $ab+cd$ statt $(ab)+(cd)$. An weiteren Notationen verwenden wir für ein Halbringelement  $a\in R$  und eine positive natürliche Zahl  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  die Schreibweisen ($n$-tes Vielfaches von $a$ und $n$-te Potenz von $a$) $na=a+\cdots +a(n\text{ Summanden})$ und $a^n=a\cdots a(n\text{ Faktoren})$. Hier muss man also richtig die Anzahl der Summanden bzw. die Anzahl der Faktoren zählen. Statt  $n1=n{1}_R$  schreiben wir einfach $n$ (bzw. manchmal $n_R$), d.h. jede natürliche Zahl findet sich in jedem Halbring wieder. Die Schreibweise $na$ könnte man dann auch als das Produkt

$(1+1+\cdots +1)\cdot a$

(mit $n$ Einsen) lesen, was aber aufgrund des Distributivgesetzes mit der $n$-fachen Summe von $a$ mit sich selbst übereinstimmt. Für

$n=0$

ist dies jedenfalls als $0\cdot a$ im Halbring zu lesen, was nicht ohne weiteres gleich $0$ sein muss (aber in allen für uns wichtigen Beispielen gleich $0$ ist). Weiter setzen wir

$a^0=1.$

Mit dieser Bezeichnung gilt beispielsweise

$(m+n)a=ma+na$

und

$(m\cdot n)a=m\cdot (na)$

für natürliche Zahlen  $m,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  (man mache sich klar, was hier jeweils die Multiplikation bezeichnet).

Wie bei den natürlichen Zahlen verwenden wir das Summenzeichen $\sum$ und das Produktzeichen $\prod$. Für indizierte Elemente $a_1,\dots ,a_k$ aus $R$ ist also

$\sum _{i=1}^k{a}_i=a_1+\cdots +a_k$

und

$\prod _{i=1}^k{a}_i=a_1\cdots a_k.$

Auch bei einer beliebigen endlichen Indexmenge $I$ und Elementen $a_i$, $i\in I$, verwendet man die Schreibweise $\sum _{i\in I}{a}_i$ für die Summe der gegebenen Elemente, die ja wegen der Kommutativität und der Assoziativität nicht von einer Reihenfolge abhängt.

Die beiden folgenden extremen Beispiele zeigen, wie verschieden ein Halbring von dem Halbring der natürlichen Zahlen sein kann. Dennoch gelten alle aus den Halbringaxiomen ableitbaren Eigenschaften auch in diesen beiden Beispielen.

Beispiel

Die einelementige Menge  $R=\{0\}$  kann man zu einem kommutativen Halbring machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch $0+0=0$ und $0\cdot 0=0$. In diesem Fall ist  $1=0$,  dies ist also ausdrücklich erlaubt. Die Rechengesetze in einem Halbring sind hier trivialerweise erfüllt, da bei jeder zu erfüllenden Gleichung links und rechts sowieso immer $0$ herauskommt. Diesen Halbring nennt man den Nullring.

Nach dem Nullring ist das folgende Objekt der zweitkleinste Halbring.

Beispiel

Wir suchen nach einer Halbringstruktur auf der Menge $\{0,1\}$. Wenn $0$ das neutrale Element einer Addition und $1$ das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon viel festgelegt. Nach Fakt muss

$0\cdot 0=0$

gelten. Ferner legen wir

$1+1=0$

fest. Die Verknüpfungstabellen (oder Operationstafeln) sehen somit wie folgt aus.

$+$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

und

$\cdot$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$

Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen kommutativen Halbring handelt.

Eine „natürliche“ Interpretation dieses Halbringes gewinnt man, wenn man sich die geraden natürlichen Zahlen durch $0$ und die ungeraden natürlichen Zahlen durch $1$ repräsentiert denkt. Beispielsweise ist die Summe zweier ungerader Zahlen stets gerade, was der obigen Gleichung  $1+1=0$  entspricht. Wie oben erwähnt lassen sich in jedem kommutativen Halbring die natürlichen Zahlen eindeutig interpretieren, dabei können aber, wie in den beiden Beispielen, verschiedene Zahlen gleich werden. Im Beispiel wird jede gerade Zahl zu $0$ und jede ungerade Zahl zu $1$.