Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Textabschnitt

Das Vereinigungsprinzip und die Kommutativität der Addition

Die Standardinterpretation der und wichtigste Motivation für die Addition zweier natürlicher Zahlen ist, dass sie die Anzahl der Vereinigung von zwei disjunkten endlichen Mengen angibt. Wenn man zwei Körbe von Äpfeln hat und diese zusammenschüttet, so ist die Gesamtanzahl gerade die Summe der beiden Einzelanzahlen. Es ist möglich, die Addition von natürlichen Zahlen darüber zu definieren. Vorteile sind die unmittelbare Anschauung, Nachteile, dass man eine Zahl durch eine endliche Menge repräsentieren muss, und nicht klar ist, welche man nehmen soll und es nicht selbstverständlich ist, dass unterschiedliche gleichgroße disjunkte Mengen nach Vereinigung gleichgroß sind (was heißt das?). Der Vorteil bei unserer Definition ist, dass man die Addition auf einen elementareren Prozess, nämlich den Prozess des Zählens bzw. Nachfolgernehmens zurückführt. Dies erlaubt es, Gesetzmäßigkeiten zu beweisen, indem sie per Induktion auf elementare Schritte zurückgeführt werden. Beide Konzepte sind wichtig, und natürlich will man, unabhängig davon, wie man die Addition nun eingeführt hat, schnell wissen, dass die beiden Konzepte übereinstimmen. Dazu ist es hilfreich, im Vereinigungskonzept auch Einzelschritte zu erkennen. Dies ist wieder das Umlegungsprinzip: Die Vereinigung kann man sich so vorstellen, dass schrittweise ein Element (ein Apfel) der zweiten Menge in die erste Menge umgelegt wird, siehe auch Aufgabe und Aufgabe.

Bei einem solchen Einzelschritt erhöht sich die erste Anzahl um eins (Nachfolger) und die zweite Anzahl verringert sich um eins (Vorgänger). Das deckt sich mit Fakt  (2).

Satz

Es seien ${}M$ und ${}N$ disjunkte endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen.

Dann besitzt ihre Vereinigung ${}M\cup N$ gerade ${}m+n$ Elemente.

Beweis

Die Voraussetzung besagt, dass es eine bijektive Abbildung

$\psi \colon \{1,\ldots ,m\}\longrightarrow M$

und eine bijektive Abbildung

$\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow N$

gibt. Die Abbildung

${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{m+1,\ldots ,m+n\},\,i\longmapsto m+i,$

ist nach Aufgabe bijektiv, sei ${}\theta$ die Umkehrabbildung. Somit ist nach Fakt  (3)

$\varphi \circ \theta \colon \{m+1,\ldots ,m+n\}\longrightarrow N$

ebenfalls bijektiv. Wir definieren nun eine Abbildung

$F\colon \{1,\ldots ,m+n\}\longrightarrow M\cup N$

durch

${}F(k)={\begin{cases}\psi (k),{\text{ falls }}k\in \{1,\ldots ,m\}\,,\\\varphi (\theta (k)),{\text{ falls }}k\in \{m+1,\ldots ,m+n\}\,.\end{cases}}\,$

Diese Abbildung ist surjektiv, da jedes Element aus ${}M$ durch den ersten Fall und jedes Element aus ${}N$ durch den zweiten Fall abgedeckt ist. Die Injektivität sieht man so. Wenn

${}k\neq \ell \,$

gegeben sind, und das eine Element zu ${}\{1,\ldots ,m\}$ und das andere zu ${}\{m+1,\ldots ,m+n\}$ gehört, so ist ${}F(k)\in M$ und ${}F(\ell )\in N$ (oder umgekehrt) und sie sind verschieden wegen der Disjunktheit von ${}M$ und ${}N$. Wenn hingegen ${}k$ und ${}\ell$ aus der gleichen Teilmenge des Definitionsbereiches kommen, so ergibt sich die Verschiedenheit von ${}F(k)$ und ${}F(\ell )$ aus der Injektivität von ${}\psi$ bzw. von ${}\varphi \circ \theta$. Insgesamt erhalten wir also eine bijektive Abbildung

$\{1,\ldots ,m+n\}\longrightarrow M\cup N,$

so dass die Anzahl von ${}M\cup N$ gleich ${}m+n$ ist.

$\Box$