Natürliche Zahlen/Ordnung mengentheoretisch aus Peanoaxiomen/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen. Dann heißt eine Teilmenge induktiv abgeschlossen, wenn für jedes auch der Nachfolger ist.


Definition  

Sei ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und . Dann setzen wir

Wegen und da selbst induktiv abgeschlossen ist, ist die Familie, über die der Durchschnitt genommen wird, nicht leer.



Lemma  

Sei ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und .

Dann ist

induktiv abgeschlossen und enthält .

Beweis  

Das Element gehört zum Durchschnitt, da ein Durchschnitt über Menge genommen wird, die alle jeweils enthalten. Um zu zeigen, dass induktiv abgeschlossen ist, sei ein beliebiges Element. Dann gehört zu jeder induktiv geordneten Menge , die enthält. Dazu gehört dann auch der Nachfolger . Da dies für jedes solche gilt, gehört auch zum Durchschnitt, also .

Man kann also sehen als die kleinste induktiv abgeschlossene Teilmenge, die enthält.


Definition  

Sei ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und . Dann setzt man



Lemma  

Sei ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und .

Dann ist

Beweis  

Sei zunächst , also nach Definition. Es sei , d.h. gehört zu jeder induktiv abgeschlossenen Teilmenge, die enthält. Nach Voraussetzung und aufgrund von Fakt ist dann insbesondere , was die Inklusion beweist. Die andere Richtung folgt direkt aus .




Lemma  

Sei ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen.

Dann ist

Beweis  

Für die Inklusion ist einerseits . Da induktiv abgeschlossen ist, gilt auch und damit nach Fakt auch . Für die andere Inklusion zeigen wir, dass induktiv abgeschlossen ist. Sei dazu . Bei ist . Andernfalls ist und da diese Menge induktiv abgeschlossen ist, folgt . Damit ist die rechte Seite induktiv abgeschlossen und enthält , also kommt sie im Durchschnitt, der ergibt, vor, also gilt auch die andere Inklusion.




Lemma  

Sei ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und .

Dann ergibt die Einschränkung der Nachfolgeabbildung eine Bijektion

Beweis  

Zunächst landet die Abbildung in der angegebenen Menge. Sei hierzu . Dann ist nach Fakt oder . Im ersten Fall ist , im zweiten Fall folgt diese Zugehörigkeit aus der induktiven Abgeschlossenheit von .

Die Abbildung ist injektiv, da sie eine Einschränkung der aufgrund der Peanoaxiome injektiven Nachfolgerabbildung ist. Sei das Bild der Abbildung. Es ist . Ferner ist induktiv abgeschlossen. Für ein Element gibt es ja ein mit . Dann gehört aber ebenfalls zu , da ist. Daher muss gelten und die Abbildung muss surjektiv sein.




Korollar  

Sei ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen und .

Dann ist

Beweis  

Dies folgt aus der in Fakt bewiesenen Bijektion




Lemma  

Sei ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen.

Dann gilt für alle .

Beweis  

Wir bweisen die Aussage durch Induktion nach . Sei . Wir behaupten, dass eine induktiv abgeschlossene Menge ist, die enthält. Letzteres folgt sofort aus . Sei . Dann ist insbesondere auch , da gemäß den Peanoaxiomen kein Nachfolger ist. Also ist induktiv abgeschlossen. Sei nun bereits bewiesen und betrachten wir . Aufgrund von Fakt haben wir eine bijektive Abbildung

Wäre , so müsste auch dessen (einziges) Urbild, also , zu gehören, was aber aufgrund der Induktionsvoraussetzung ausgeschlossen ist.




Lemma  

Sei ein Peanomodell für die natürlichen Zahlen.

Dann ist die in Definition festgelegte Relation eine totale Ordnung.

Beweis  

Die Reflexivität und die Transitivität folgen aus der Charakterisierung in Fakt und aus den entsprechenden Eigenschaften der Inklusion.

Die Antisymmetrie beweisen wir durch Induktion über , wobei die zu beweisende Aussage die Form für jedes mit und gilt . Sei . Bei ist , und diese Menge haben wir im Beweis zu Fakt als induktiv abgeschlossen nachgewiesen. Daher ist . Sei nun angenommen, dass schon bewiesen ist und betrachten wir . Sei gegeben mit und . Bei erhalten wir aus der ersten Bedingung einen Widerspruch, da gilt. Also ist . Aufgrund von Fakt gilt dann und . Die Induktionsvoraussetzung impliziert dann und damit .

Wir beweisen nun, ebenfalls durch Induktion nach , dass eine totale Ordnung vorliegt, wobei wir die Aussage für alle ist oder zugrunde legen. Bei erhalten wir wegen sofort . Sei also die Aussage für schon bewiesen und betrachten wir . Sei gegeben. Bei ist . Andernfalls ist und dann gilt nach Induktionsvoraussetzung oder , was die Vergleichbarkeit von mit impliziert.