Normaler Raum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein topologischer Raum heißt normal, wenn die einzelnen Punkte abgeschlossen sind und es in ihm zu je zwei disjunkten ${}Y,Z\subseteq X$ offene Mengen ${}Y\subseteq U$ und ${}Z\subseteq V$ mit ${}U\cap V=\emptyset$ gibt.

Diese Eigenschaft kann man auch so formulieren, dass es zu einer Inklusion ${}Y\subseteq U$ mit ${}Y$ abgeschlossen und ${}U$ offen eine Verfeinerung

${}Y\subseteq U'\subseteq Y'\subseteq U\,$

mit den entsprechenden Eigenschaften gibt.

Lemma

Ein metrischer Raum

ist normal.

Beweis

Es seien ${}Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des metrischen Raumes ${}X$. Zu jedem Punkt ${}y\in Y$ gibt es aufgrund der Abgeschlossenheit von ${}Z$ ein ${}\delta _{y}>0$ derart, dass der offene Ball ${}U{\left(y,\delta _{y}\right)}$ disjunkt zu ${}Z$ ist. Entsprechend gibt es zu ${}z\in Z$ ein ${}\epsilon _{z}>0$ derart, dass ${}U{\left(z,\epsilon _{z}\right)}$ disjunkt zu ${}Y$ ist. Es ist dann

${}Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\,$

eine offene Umgebung von ${}Y$ und

${}Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\,$

eine offene Umgebung von ${}Z$. Wir behaupten, dass diese beiden offenen Mengen disjunkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es Punkte ${}y\in Y$ und ${}z\in Z$ derart, dass

${}U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\cap U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\neq \emptyset \,$

ist. Es sei ${}x$ ein Punkt darin. Dann ist

${}d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)<{\frac {\delta _{y}}{2}}+{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\,.$

Ohne Einschränkung sei ${}\delta _{y}\leq \epsilon _{z}$. Dann ist

${}d(y,z)<\epsilon _{z}\,$

was ein Widerspruch zur Wahl von ${}\epsilon _{z}$ ist.

$\Box$

Lemma

Ein kompakter topologischer Raum

ist normal.

Beweis

Es seien ${}Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des kompakten Raumes ${}X$. Zuerst sei ${}Y$ beliebig und ${}Z=\{P\}$ ein Punkt. Dann gibt es zu jedem Punkt ${}y\in Y$ aufgrund der Hausdorff-Eigenschaft disjunkte Umgebungen ${}y\in U_{y}$ und ${}P\in V_{y,P}$. Es ist

${}Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U_{y}\,$

eine offene Überdeckung. Nach Fakt ist mit ${}X$ auch ${}Y$ kompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir

${}Y\subseteq U:=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}\,.$

Es ist dann ${}U$ eine offene Umgebung von ${}Y$, die zur offenen Umgebung

${}V:=\bigcap _{i=1}^{n}V_{y_{i},P}\,$

von ${}P$ disjunkt ist.

Für den allgemeinen Fall gibt es nach diesem speziellen Fall zu jedem ${}z\in Z$ disjunkte offene Umgebungen ${}z\in V_{z}$ und ${}Y\subseteq U_{z}$. Es ist dann

${}Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}V_{z}\,$

eine offene Überdeckung, für die es wieder eine endliche Teilüberdeckung ${}\bigcup _{j=1}^{m}V_{z_{j}}$ gibt, die zu ${}\bigcap _{j=1}^{m}U_{z_{j}}$ disjunkt ist.

$\Box$