Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Invariantenring/Zusammenhang/K algebraisch abgeschlossen Charakteristik 0/Fakt

Invariantentheoretische Charakterisierung von Monoidringen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Für eine kommutative ${}K$-Algebra ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein ${}K$-Monoidring zu einem endlich erzeugten, torsionsfreien, normalen, spitzem Monoid mit Kürzungsregel.
2. ${}R$ ist die neutrale Stufe einer ${}D$-Graduierung eines Polynomringes ${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$, wobei die Graduierung durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\longrightarrow D$

   gegeben ist.

3. ${}R$ ist der Invariantenring einer treuen Operation ${}\lambda$ der Gruppe

   $\mu _{\ell _{1}}{\left(K\right)}\times \cdots \times \mu _{\ell _{a}}{\left(K\right)}\times {\left(K^{\times }\right)}^{b}$

   auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$ der Form

   ${}\lambda (t_{1},\ldots ,t_{a+b},X_{i})=t_{1}^{d_{i,1}}\cdots t_{a+b}^{d_{i,{a+b}}}X_{i}\,$

   (mit ${}d_{i,j}\in \mathbb {Z} /(\ell _{j})$ für ${}j\leq a$ und ${}d_{i,j}\in \mathbb {Z}$ für ${}j>a$).

4. ${}R$ ist der Invariantenring zur linearen Operation der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen

   ${\left\{{\begin{pmatrix}t_{1}^{d_{1,1}}\cdots t_{a+b}^{d_{1,{a+b}}}&0&0&0\\0&t_{1}^{d_{2,1}}\cdots t_{a+b}^{d_{2,{a+b}}}&0&0\\0&0&\ddots &0\\0&0&0&t_{1}^{d_{r,1}}\cdots t_{a+b}^{d_{r,{a+b}}}\end{pmatrix}}\mid t_{j}^{\ell _{j}}=1{\text{ für }}1\leq j\leq a\right\}}$

   auf dem ${}K^{r}$ (für gewisse ${}\ell _{j}$ für

   ${}1\leq j\leq a$).

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