Normierter Vektorraum/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann nennt man zu einem Vektor die reelle Zahl

die Norm von .



Lemma  

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

  1. .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt

Beweis  

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus


Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

Aufgrund von Fakt ist dies . Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.



Definition  

Es sei ein -Vektorraum. Eine Abbildung

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle gelten.

  1. .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt


Definition  

Ein -Vektorraum heißt normierter Vektorraum, wenn auf ihm eine Norm definiert ist.


Definition  

Auf einem normierten Vektorraum mit Norm definiert man die zugehörige Metrik durch

Dies ist in der Tat eine Metrik.



Lemma  

Ein normierter Vektorraum ist durch die zugehörige Metrik

ein metrischer Raum.

Beweis  

  1. Es ist genau dann, wenn , also ist.
  2. Es ist
  3. Für beliebiges ist nach der Definition einer Norm