Es sei
und sei eine
Permutation
auf . Dann heißt die Zahl
das Signum
(oder das Vorzeichen)
der Permutation .
Das Signum ist
oder ,
da im Zähler und im Nenner die bis auf das Vorzeichen gleichen Differenzen stehen. Der Faktor im Zähler wird von aus getroffen. Es gibt für das Signum also nur zwei mögliche Werte. Bei
spricht man von einer geraden Permutation und bei
von einer ungeraden Permutation.
Die Transposition vertausche die beiden Zahlen
.
Wenn
,
und wenn die Transposition der Nachbarn
und
und die Transposition von und bezeichnet, so besteht die Beziehung
was man direkt auf den relevanten Elementen überprüfen kann.
Aufgrund
der Homomorphieeigenschaft
gilt also
.
Daher genügt es, die Aussage für Transpositionen zu beweisen, die zwei benachbarte Elemente vertauschen. Solche Transpositionen haben aber nur einen Fehlstand, und somit folgt die Aussage aus
Fakt.
Es sei eine beliebige Menge mit Elementen, die nicht geordnet sein muss, und sei eine Permutation auf . Dann kann man nicht von
Fehlständen
sprechen und die
Definition des Signums
ist nicht direkt anwendbar. Man kann sich jedoch an
Fakt
orientieren, um das Signum auch in dieser leicht allgemeineren Situation zu erklären. Dazu schreibt man als Produkt von Transpositionen und definiert
Um einzusehen, dass dies wohldefiniert ist, betrachtet man eine Bijektion
Die Permutation auf definiert auf die Permutation
.
Sei
eine Darstellung als Produkt von Transpositionen auf . Dann gilt
mit
.
Dies sind ebenfalls Transpositionen, sodass die Parität von durch das Signum von festgelegt ist.