Polynomring/Veronesering/Monoidring/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  der Polynomring über ${}K$ in ${}n$ Variablen und  ${}s\in \mathbb {N} _{+}$. 

Dann ist der Veronese-Ring ${}R^{(s)}$ der Monoidring zum Monoid

${}M=\left\{m=(m_{1},\ldots ,m_{n})\in \mathbb {N} ^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}m_{i}\in \mathbb {N} s\right\}\subseteq \mathbb {N} ^{n}\,.$

Wenn ${}K$ eine ${}s$-te primitive Einheitswurzel enthält, so ist dies zugleich der Invariantenring zur linearen Operation der ${}\mu _{s}\left(K\right)$ auf dem ${}K^{n}$ durch skalare Multiplikation.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen