Prägarben/Riemannsche Fläche/Gruppen/Einführung/Textabschnitt

Die Prägarbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ergibt für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ nicht nur eine Menge, sondern einen kommutativen Ring, da man ja holomorphe Funktionen, die auf der gleichen Menge definiert sind, miteinander addieren und multiplizieren kann (siehe Fakt und Fakt  (2)). Diese Eigenschaft wird durch die folgende Begriffe erfasst.

Definition

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Definition

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Ringhomomorphismus ist.

Beispiel

Zu einem topologischen Raum ${}X$ ist die Mengen der stetigen Abbildungen von ${}X$ in eine topologische Gruppe ${}G$ mit der natürlichen Verknüpfung selbst eine Gruppe. Die Einschränkung auf eine offene Teilmenge von ${}X$ ist dabei ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist die Zuordnung

$U\mapsto C^{0}(U,G)$

eine Prägarbe von Gruppen auf ${}X$.