Primideal/Vermeidung/Textabschnitt

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $𝔞$ ein Ideal und $𝔭_{1}, \dots, 𝔭_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte $𝔞 \subseteq ⋃_{i = 1}^{n} 𝔭_{i}$ .

Dann ist $𝔞 \subseteq 𝔭_{i}$ für ein $i$ .

Wir führen Induktion über $n$ . Bei $n = 1$ ist die Aussage trivial. Es sei die Aussage für $n$ Primideale bewiesen, und seien $n + 1$ Primideale gegeben. Für jedes $i$ können wir annehmen, dass $𝔞 \subseteq̸ ⋃_{j \neq i} 𝔭_{j}$ ist, da andernfalls die Aussage nach Induktionsvoraussetzung bewiesen ist. Demnach gibt es jeweils ein $f_{i} \in 𝔞$ mit $f_{i} \notin ⋃_{j \neq i} 𝔭_{j}$ . Dann muss insbesondere $f_{i} \in 𝔭_{i}$ sein. Das Element $f_{1} + f_{2} f_{3} \dots f_{n + 1}$ gehört zu $𝔞$ und damit ist auch $f_{1} + f_{2} f_{3} \dots f_{n + 1} \in 𝔭_{i}$ für ein $i$ . Dies ist aber sowohl bei $i = 1$ als auch bei $i \geq 2$ ein Widerspruch.

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Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $𝔞, 𝔟$ Ideale und $𝔭_{1}, \dots, 𝔭_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte $𝔞 \subseteq 𝔟 \cup ⋃_{i = 1}^{n} 𝔭_{i}$ .

Dann ist $𝔞 \subseteq 𝔟$ oder $𝔞 \subseteq 𝔭_{i}$ für ein $i$ .

Beweis

Wir führen Induktion über $n$ , bei $n = 0$ ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei die Aussage für $n$ Primideale bewiesen, und seien $n + 1$ Primideale gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung ist

𝔞 \subseteq̸ 𝔟 \cup ⋃_{j = 1}^{n} 𝔭_{j},

sei $f \in 𝔞$ und $f \notin 𝔟 \cup 𝔭_{1} \cup \dots \cup 𝔭_{n}$ . Bei

f \notin 𝔭_{n + 1}

sind wir fertig, sei also $f \in 𝔭_{n + 1}$ . Wäre

𝔞 \cap 𝔟 \cap 𝔭_{1} \cap \dots \cap 𝔭_{n} \subseteq 𝔭_{n + 1},

so würde nach Aufgabe $𝔞 \subseteq 𝔭_{n + 1}$ oder $𝔟 \subseteq 𝔭_{n + 1}$ oder $𝔭_{i} \subseteq 𝔭_{n + 1}$ für ein $i \leq n$ gelten. In diesen Fällen wären wir aufgrund der Induktionsvoraussetzung fertig. Also ist

𝔞 \cap 𝔟 \cap 𝔭_{1} \cap \dots \cap 𝔭_{n} \subseteq̸ 𝔭_{n + 1},

sei $g \in 𝔞 \cap 𝔟 \cap 𝔭_{1} \cap \dots \cap 𝔭_{n}$ und $g \notin 𝔭_{n + 1}$ . Dann ist $f + g \in 𝔞$ und $f + g \notin 𝔟 \cup ⋃_{i = 1}^{n + 1} 𝔭_{i}$ .

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