Primideal/Vermeidung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte .

Dann ist für ein .

Beweis  

Wir führen Induktion über . Bei ist die Aussage trivial. Sei die Aussage für Primideale bewiesen, und seien Primideale gegeben. Für jedes können wir annehmen, dass ist, da andernfalls die Aussage nach Induktionsvoraussetzung bewiesen ist. Demnach gibt es jeweils ein mit . Dann muss insbesondere sein. Das Element gehört zu und damit ist auch für ein . Dies ist aber sowohl bei als auch bei ein Widerspruch.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, Ideale und eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte .

Dann ist oder für ein .

Beweis  

Wir führen Induktion über , bei ist die Aussage trivialerweise richtig. Sei die Aussage für Primideale bewiesen, und seien Primideale gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung ist

sei und . Bei

sind wir fertig, sei also . Wäre

so würde nach Aufgabe oder oder für ein gelten. In diesen Fällen wären wir aufgrund der Induktionsvoraussetzung fertig. Also ist

sei und . Dann ist und .