Produkt-Messräume/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten ${}\sigma$-Algebren. Dann nennt man die von allen Quadern

$S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra die Produkt-${}\sigma$-Algebra der ${}(M_{i},{\mathcal {A}}_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$. Sie wird mit ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$ bezeichnet.

Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ Messräume und es sei ${}(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$ die Produktmenge mit der Produkt-${}\sigma$-Algebra.

Dann sind die Projektionen

$p_{1}:M\times N\longrightarrow M{\text{ und }}p_{2}:M\times N\longrightarrow N$

messbar.

Beweis

Dies folgt direkt daraus, dass zu einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq N$ die Urbildmenge

${}p_{2}^{-1}(T)=M\times T\,$

ein Quader ist und daher nach Definition zu ${}{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ gehört.

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Diese Aussage gilt natürlich auch für beliebige endliche Produkte. Man kann den Beweis von solchen Aussagen sehr häufig durch eine einfache Induktion auf den Fall von zwei Faktoren zurückführen, so dass wir uns zumeist auf diesen Fall beschränken werden.

Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ Messräume und ${}T\subseteq M\times N$ eine messbare Teilmenge des Produktes ${}(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$.

Dann sind für jedes ${}x\in M$ und jedes ${}y\in N$ die Mengen

$T(x)={\left\{y\in N\mid (x,y)\in T\right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,T(y)={\left\{x\in M\mid (x,y)\in T\right\}}$

messbar in ${}M$ bzw. in ${}N$.

Beweis

Wir zeigen, dass für jedes ${}y\in N$ die Inklusionsabbildung

$\iota _{y}\colon M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),$

messbar ist. Dazu genügt es nach Fakt, die Urbilder von messbaren Mengen der Form ${}A\times B\subseteq M\times N$ zu betrachten. Für eine solche Menge gilt

${}\iota _{y}^{-1}(A\times B)={\left\{x\in M\mid (x,y)\in A\times B\right\}}\,,$

und dies ist leer, falls ${}y\notin B$ und gleich ${}A$, falls ${}y\in B$. So oder so ist sie also eine messbare Teilmenge.
Für eine beliebige Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$ ist daher

${}T(y)={\left\{x\in M\mid (x,y)\in T\right\}}=\iota _{y}^{-1}(T)\,$

messbar.

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Lemma

Es seien ${}M,N_{1},N_{2}$ Messräume und es seien ${}f_{1}\colon M\rightarrow N_{1}$ und ${}f_{2}\colon M\rightarrow N_{2}$ messbare Abbildungen.

Dann ist auch die Abbildung

$(f_{1},f_{2})\colon M\longrightarrow N_{1}\times N_{2},\,x\longmapsto (f_{1}(x),f_{2}(x)),$

messbar.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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