Produktraum/Endlich/Produktpräring/Produktprämaß/Textabschnitt

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Definition  

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann nennt man den von allen Quadern

erzeugten Präring den Produkt-Präring der , .


Definition  

Es seien Mengen mit darauf erklärten -Algebren. Dann nennt man die von allen Quadern

auf erzeugte -Algebra die Produkt--Algebra der , . Sie wird mit bezeichnet.



Lemma  

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen.

Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.

Beweis  

Die Quader mit gehören zum Produkt-Präring, und damit auch endliche Vereinigungen davon. Wir müssen also zeigen, dass das angegebene Mengensystem (das aus den endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern besteht) ein Präring ist.  Wir beschränken uns dabei auf den Fall von zwei Mengen und , der allgemeine Fall folgt daraus durch Induktion. Die leere Menge ist als leerer Quader in enthalten. Wir diskutieren zunächst die Mengenoperationen für zwei Quader und . Der Durchschnitt davon ist gleich , also wieder ein Quader. Für die Vereinigung gilt

was eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern ist. Für die Differenzmenge ist

ebenfalls eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern.
Es seien nun zwei disjunkte endliche Vereinigungen von Quadern, und , gegeben. Dann ist

Nach der obigen Überlegung ist für jedes eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Diese kann man zu einer disjunkten Vereinigung von kleineren Quadern über eine größere Indexmenge zusammenfassen. Die Behauptung folgt somit durch Induktion über die Anzahl von . Für die Vereinigung ist

eine endliche Vereinigung von Quadern. Durch Induktion über die Anzahl der Quader kann man unter Verwendung der obigen Überlegung für zwei Quader zeigen, dass man dies auch als eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern darstellen kann.


Simple set1.png
Simple set2.png




Lemma  

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die für eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern (wobei die Seiten endliches Maß haben) durch

    mit definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.

  2. Seien (insbesondere sei dies definiert). Dann ist die Zuordnung ein Prämaß auf dem Produkt-Präring.

Beweis  

(1). Wir beschränken uns im Beweis auf zwei Mengen und , die allgemeine Aussage folgt daraus durch Induktion. Seien

zwei Darstellungen einer Menge als endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Wir müssen zeigen. Für jeden Quader ist insbesondere . Damit ist auch

Nach Fakt sind die Durchschnitte rechts selbst Quader. Damit erhalten wir eine dritte Darstellung von , die beide Darstellungen verfeinert. Daher können wir gleich annehmen, dass jedes Teilmenge eines ist. Dann ist insbesondere mit einer gewissen Teilmenge , wobei die für verschiedene disjunkt sind. Es genügt also, für einen Quader

die Gleichheit zu zeigen. Da endlich ist, sind überhaupt nur endlich viele Seiten aus und aus an diesen überdeckenden Quadern beteiligt. Aus diesen Seiten kann man ein Mengensystem bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der und ihrer Komplemente besteht, und ein Mengensystem bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der und ihrer Komplemente besteht. Diese Mengen sind disjunkt und seien mit , , und , , bezeichnet (das bedeutet, dass wir ein „Raster“ einführen). Damit kann man jeden Quader als eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern der Form schreiben, und zwar als

und jeder dieser Quader kommt in genau einem vor. Insgesamt ergibt sich


(2). Es sei eine abzählbare disjunkte Vereinigung, wobei und die endliche disjunkte Vereinigungen von Quadern sind. Wir müssen zeigen. Dies kann man direkt auf den Fall zurückführen, wo und Quader sind. Zu einer Teilmenge und zu betrachten wir

Wenn zum Produkt-Präring gehört, also eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern ist, so gehören diese Mengen zu , da sie eine endliche Vereinigung gewisser (-)Seiten dieser Quader sind. Zu einer positiven reellen Zahl kann man die Menge

betrachten. Dies Menge ist wiederum eine endliche Vereinigung von (-)Seiten der beteiligten Quader und gehört somit zu . Weiterhin kann nur für endlich viele Werte sein, nämlich nur für die Teilsummen der Werte des Prämaßes der (-)Seiten der beteiligten Quader. Mit diesen Notationen gilt

da dies für jeden Quader gilt und daraus durch Aufsummieren folgt.
Sei also nun eine abzählbare Zerlegung in Quader. Wir müssen

zeigen. Nach Übergang zu den Komplementen in ist dies äquivalent damit, dass

ist für . Es ist , und damit ist auch für jedes . Nach Fakt ist daher . Zu definieren wir

Da für jedes die Folge gegen konvergiert, schrumpft die Mengenfolge für jedes gegen . Daraus folgt, wieder mit Fakt, dass .
Seien nun gegeben. Zu gibt es ein mit für alle . Für diese hat man dann insgesamt die Abschätzung

Da nach Voraussetzung und endlich sind, kann man den letzten Term durch geeignete Wahl von und beliebig klein machen. Daher konvergiert gegen .



Definition  

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann nennt man das in Fakt konstruierte Prämaß das Produkt-Prämaß auf .