Projektives Schema/Syzygienbündel/Lokal frei/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring und ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ homogene Elemente vom Grad ${}d_{i}$. Das von den ${}f_{i}$ erzeugte Ideal ${}I$ und das irrelevante Ideal ${}R_{+}$ haben das gleiche Radikal. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es liegt eine kurze exakte Sequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{i=1}^{n}R(-d_{i})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   von graduierten ${}R$-Moduln mit homogenen Homomorphismen vor.

2. Auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ liegt eine kurze exakte Sequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{Y}(-d_{i})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{Y}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   von lokal freien Garben vor.

3. Auf ${}D_{+}(f_{i})$ ist die Einschränkung der lokal freien Garbe ${}\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ isomorph zu einer direkten Summe von getwisteten Strukturgarben.

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