Pseudokonvex

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Einen topologischen Vektorraum nennt man pseudokonvex (genauer einen pseudokonvexen topologischen Vektorraum), wenn dieser eine Nullumgebungsbasis aus p-konvexen Umgebungen besitzt. Da jedes topologische Vektorraum wegen der Stetigkeit der Multiplikation eine Umgebungsbasis aus kreisförmigen (und konvexen). Die Minkowski-Funktionale der absolut-p-konvexen Mengen sind dann -Halbnormen. Alternativ können lokalkonvexe Räume auch als Vektorräume definiert werden, deren Topologie durch eine Familie von -Halbnormen erzeugt wird.

Zusammenhang Halbnorm - p-Halbnorm[Bearbeiten]

Jede konvexe Menge ist auch -konvex und die Einheitskugeln in euklidischen Vektorräumen ist eine konvexe Nullumgebung.

Ein pseudokonvexer Raum kann als eine Verallgemeinerung eines lokalkonvexen Vektorraumes betrachtet werden, denn jede homogene -Halbnorm mit ist eine Halbnorm und erzeugt konvexe Umgebung um den Nullvektor in einem topologischen Vektorraum mit der Topologie auf .

Aufgabe für Studierende[Bearbeiten]

Betrachten Sie, das Topologisierungslemma für Algebren , bei denen ein Zusammenhang zwischen Nullumgebungen und dem zugehörigen Minkowski-Funktional. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen

  • der Dreiecksungleichung,
  • der Stetigkeit der Addition auf der topologischen Algebra und
  • der absoluten -Konvexität der Nullumgebung .

Geometrische Definition[Bearbeiten]

Ein topologischer Vektorraum (über dem Körper der reellen Zahlen oder dem Körper der komplexen Zahlen) heißt pseudokonvex, wenn jede Nullumgebung (d. h. Umgebung des Nullpunktes) eine offene Teilmenge mit den folgenden drei Eigenschaften enthält:

Definition: absorbierend[Bearbeiten]

Eine Teilmenge eines reellen oder komplexen Vektorraumes heißt dabei absorbierend, wenn es zu jedem Vektor in eine positive Zahl gibt, so dass für jede reelle bzw. komplexe Zahl mit ein Element von ist.

Definition: kreisförmig[Bearbeiten]

Eine Teilmenge eines reellen oder komplexen Vektorraumes heißt kreisförmig, wenn zu jedem Vektor in und jeder Zahl mit der Vektor ebenfalls in liegt. Im Fall eines reellen Vektorraums bedeutet dies, dass die Strecke von nach in liegt; bei einem komplexen Vektorraum bedeutet es, dass die „Kreisscheibe“ enthält. Die Namensgebung erfolgte durch diese geometrischen Bedeutung, dass beliebige Konvexkombinationen aus Punkten der Menge und dem Nullvektor wieder in eine konvexen Menge liegen, ist der Begriff der Kreisförmigkeit gewählt worden. Alternative werden solche Mengen auch ausgewogen genannt.

Definition: absolut p-konvex[Bearbeiten]

Eine kreisförmige und p-konvexe Menge heißt absolut p-konvexe Menge.

Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren[Bearbeiten]

Die Multiplkation mit Skalaren ist per Definition in einem topologischen Vektorraum stetig. Diese Stetigkeit liefert die Eigenschaft, das Nullumgebungen absorbierend sind. Die Stetigkeit der Multiplkation mit Skalaren liefert ferner, dass jede Nullumgebung eine kreisförmige Nullumgebung enthält. Daher gibt es genau dann eine Nullumgebungsbasis aus konvexen, absorbierenden und kreisförmigen Mengen, wenn es eine Nullumgebungsbasis aus konvexen Mengen gibt.[1] Zwei solche Umgebungsbasen müssen natürlich nicht übereinstimmen, aber die Existenz der einen impliziert die Existenz der anderen.

Definition der Topologie durch p-Halbnormen[Bearbeiten]

Betrachtet man Topologisierungslemma für Algebren so erkennt man den Zusammenhang zwischen der Topologie und den topologieerzeugenden Gaugefunktionalen. Lokalkonvexe Räume lassen sich auch durch Halbnormen-Systeme charakterisieren:

  • Ein topologischer Vektorraum heißt pseudokonvex, wenn seine Topologie durch eine Familie von p-Halbnormen definiert ist.
  • Ein Netz konvergiert genau dann, wenn es bezüglich aller Halbnormen aus konvergiert; genauer: Es ist genau dann, wenn für alle Halbnormen . Die Kugeln , wobei , bilden dabei eine Subbasis der Topologie, die Mengen sind absolutkonvexe Nullumgebungen.

Ist umgekehrt eine Nullumgebungsbasis aus absolut p-konvexen Mengen gegeben, so bilden die zugehörigen Minkowski-Funktionale ein definierendes -Halbnormen-System.


Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Lemma 22.2

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