Pseudokonvex

Einführung

Einen topologischen Vektorraum nennt man pseudokonvex (genauer einen pseudokonvexen topologischen Vektorraum), wenn dieser eine Nullumgebungsbasis aus p-konvexen Umgebungen besitzt. Da jedes topologische Vektorraum wegen der Stetigkeit der Multiplikation eine Umgebungsbasis aus kreisförmigen (und konvexen). Die Minkowski-Funktionale der absolut-p-konvexen Mengen sind dann $p$ -Halbnormen. Alternativ können lokalkonvexe Räume auch als Vektorräume definiert werden, deren Topologie durch eine Familie von $p$ -Halbnormen erzeugt wird.

Zusammenhang Halbnorm - p-Halbnorm

Jede konvexe Menge ist auch $p$ -konvex und die Einheitskugeln in euklidischen Vektorräumen ist eine konvexe Nullumgebung.

Ein pseudokonvexer Raum kann als eine Verallgemeinerung eines lokalkonvexen Vektorraumes betrachtet werden, denn jede homogene $p$ -Halbnorm mit $p=1$ ist eine Halbnorm und erzeugt konvexe Umgebung um den Nullvektor $0_{V}\in V$ in einem topologischen Vektorraum $(V,{\mathcal {T}}_{V})$ mit der Topologie ${\mathcal {T}}_{V}$ auf $V$ .

Aufgabe für Studierende

Betrachten Sie, das Topologisierungslemma für Algebren $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ , bei denen ein Zusammenhang zwischen Nullumgebungen $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ und dem zugehörigen Minkowski-Funktional. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen

der Dreiecksungleichung,
der Stetigkeit der Addition auf der topologischen Algebra und
der absoluten $p$ -Konvexität der Nullumgebung $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ .

Geometrische Definition

Ein topologischer Vektorraum $V$ (über dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen oder dem Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen) heißt pseudokonvex, wenn jede Nullumgebung $U$ (d. h. Umgebung des Nullpunktes) eine offene Teilmenge $M\subset V$ mit den folgenden drei Eigenschaften enthält:

$M$ ist absolut $p$ -konvex.
$M$ ist absorbierend.

Definition: absorbierend

Eine Teilmenge $M$ eines reellen oder komplexen Vektorraumes $V$ heißt dabei absorbierend, wenn es zu jedem Vektor $x$ in $V$ eine positive Zahl $r$ gibt, so dass $\alpha \cdot x$ für jede reelle bzw. komplexe Zahl $\alpha$ mit $|\alpha |>r$ ein Element von $M$ ist (d.h. $x\in \alpha \cdot M$ ).

Bemerkung - absorbierend

Die obige Definition beschreibt die Eigenschaft einer Menge $M$ , durch "Aufblasen" der Menge beliebige Elemente "einzufangen" bzw. zu absorbieren. Dabei wird das Element für beliebige Skalare $\alpha$ mit $x\in \alpha \cdot M$ immer eingefangen, wenn $|\alpha |>r$ also diese untere Schranke $r$ überschreitet. Alternativ kann man "absorbierend" auch wie folgt definieren, wobei die Namensgebung der Eigenschaft nicht so gut deutlich wird.

Alternative Definition: absorbierend

Eine Teilmenge $M$ eines reellen oder komplexen Vektorraumes $V$ heißt dabei absorbierend, wenn es zu jedem Vektor $x$ in $V$ eine positive Zahl $r$ gibt, so dass $\alpha \cdot x$ für jede reelle bzw. komplexe Zahl $\alpha$ mit $|\alpha |<r$ ein Element von $M$ ist (d.h. $\alpha \cdot x\in M$ ).

Definition: kreisförmig

Eine Teilmenge $T$ eines reellen oder komplexen Vektorraumes $V$ heißt kreisförmig, wenn zu jedem Vektor $x$ in $T$ und jeder Zahl $r$ mit $|r|\leq 1$ der Vektor $rx$ ebenfalls in $T$ liegt. Im Fall eines reellen Vektorraums bedeutet dies, dass die Strecke von $-x$ nach $x$ in $T$ liegt; bei einem komplexen Vektorraum bedeutet es, dass $T$ die „Kreisscheibe“ $\{rx\mid r\in \mathbb {C} ,\ |r|\leq 1\}$ enthält. Die Namensgebung erfolgte durch diese geometrischen Bedeutung, dass beliebige Konvexkombinationen aus Punkten der Menge und dem Nullvektor $0_{V}$ wieder in eine konvexen Menge liegen, ist der Begriff der Kreisförmigkeit gewählt worden. Alternative werden solche Mengen auch ausgewogen genannt.

Definition: absolut p-konvex

Eine kreisförmige und p-konvexe Menge heißt absolut p-konvexe Menge.

Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren

Die Multiplkation mit Skalaren ist per Definition in einem topologischen Vektorraum stetig. Diese Stetigkeit liefert die Eigenschaft, das Nullumgebungen absorbierend sind. Die Stetigkeit der Multiplkation mit Skalaren liefert ferner, dass jede Nullumgebung eine kreisförmige Nullumgebung enthält. Daher gibt es genau dann eine Nullumgebungsbasis aus konvexen, absorbierenden und kreisförmigen Mengen, wenn es eine Nullumgebungsbasis aus konvexen Mengen gibt.^[1] Zwei solche Umgebungsbasen müssen natürlich nicht übereinstimmen, aber die Existenz der einen impliziert die Existenz der anderen.

Definition der Topologie durch p-Halbnormen

Betrachtet man Topologisierungslemma für Algebren so erkennt man den Zusammenhang zwischen der Topologie und den topologieerzeugenden Gaugefunktionalen. Lokalkonvexe Räume lassen sich auch durch Halbnormen-Systeme charakterisieren:

Ein topologischer Vektorraum $V$ heißt pseudokonvex, wenn seine Topologie durch eine Familie $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ von p-Halbnormen definiert ist.
Ein Netz konvergiert genau dann, wenn es bezüglich aller Halbnormen aus $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ konvergiert; genauer: Es ist $x_{i}\rightarrow x$ genau dann, wenn $\|x_{i}-x\|_{\alpha }\rightarrow 0$ für alle Halbnormen $\alpha \in {\mathcal {A}}$ . Die Kugeln $B_{\varepsilon }^{\alpha }(x)=\left\{y\in V\,:\,\|x-y\|_{\alpha }<\varepsilon \right\}$ , wobei $x\in V,\,\varepsilon >0,\,\alpha \in {\mathcal {A}}$ , bilden dabei eine Subbasis der Topologie, die Mengen $B_{\varepsilon }^{\alpha }(x)$ sind absolutkonvexe Nullumgebungen.

Ist umgekehrt eine Nullumgebungsbasis aus absolut p-konvexen Mengen gegeben, so bilden die zugehörigen Minkowski-Funktionale ein definierendes $p$ -Halbnormen-System.

Verallgemeinerungen

Siehe auch

Beispiele für Vektorräume
Vektorraum
absolut p-konvex
p-konvex
Topologisierungslemma für Algebren
Topologischer Vektorraum
Topologische Algebra
lokalkonvexer Raum
Lokalkonvexe Algebren sind lokalkonvexe Räume mit einer Algebrenstruktur und Bedingungen an die Multiplikation.
Normierte Räume mit der schwachen Topologie, der schwach-*-Topologie oder der beschränkten schwach-*-Topologie sind lokalkonvexe Räume, die in der Theorie der normierten Räume wichtig sind.
Verschiedene Operatortopologien führen zu lokalkonvexen Räumen in der Theorie der Operatoralgebren.
Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen
Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien

Literatur

J. Dieudonné: History of Functional Analysis, North-Holland Mathematical Studies 49 (1981), ISBN 0-444-86148-3
G. Köthe: Topological Vector Spaces I (2. Auflage), Springer, 1983, ISBN 3-540-04509-0
G. Köthe: Topological Vector Spaces II, Springer, 1979, ISBN 3-540-90400-X
K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968, ISBN 3-540-04226-1
H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971 ISBN 0-387-98726-6
H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981 ISBN 3-519-02224-9
R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8
J. v. Neumann: On Complete Topological Spaces, Transactions of the American Mathematical Society 37 (1935), Seiten 1–20

Einzelnachweise

↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Lemma 22.2

Seiten-Information

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[1] R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Lemma 22.2

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