Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Vereinfacht/Quadratische Form/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Norm ist eine quadratische Form auf mit Werten in . Zu jedem Element liegt ein surjektiver Restklassenhomomorphismus

vor. Beide Restklassenringe sind nach Fakt endlich, und somit ist die Anzahl von ein Teiler der Anzahl von . Diese Anzahlen sind aber nach Definition bzw. (bis auf das Vorzeichen) nach Fakt gleich bzw. . Die Quotienten liegen also in und es liegt eine ganzzahlige quadratische Form vor. Diese ist nach Fakt binär.

Mit einer beliebigen -Basis des Ideals ist die durch die Norm gegebene binäre quadratische Form durch die Werte festgelegt, und zwar lautet die explizite Beschreibung

Mit der Konjugation gilt

und

Somit ist der mittlere Koeffizient der quadratischen Form gleich

und die Diskriminate der quadratischen Form ist gleich

Wir ziehen nun die Basis des Ideals gemäß Fakt heran. Die Diskriminante ist dann

Ja nach Fall ist die Klammer rechts gleich bzw. gleich . Im ersten Fall ist das Quadrat davon gleich . Im zweiten Fall ist das Quadrat davon gleich . Wenn man also die Norm durch die Norm des Ideals dividiert, die ja nach Fakt gleich ist, so ergibt sich in beiden Fällen eine quadratische Form, deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches ist. Da die Diskriminante (bis eventuell auf den Faktor ) quadratfrei ist, folgt nach Aufgabe, dass die Form einfach ist.

Zur bewiesenen Aussage