Beweis
Die Norm ist eine quadratische Form auf mit Werten in . Zu jedem Element liegt ein surjektiver Restklassenhomomorphismus
-
vor. Beide Restklassenringe sind
nach Fakt
endlich, und somit ist die Anzahl von ein Teiler der Anzahl von . Diese Anzahlen sind aber nach Definition bzw.
(bis auf das Vorzeichen)
nach
Fakt
gleich
bzw. .
Die Quotienten liegen also in und es liegt eine ganzzahlige quadratische Form vor. Diese ist nach
Fakt
binär.
Mit einer beliebigen
-Basis
des Ideals ist die durch die Norm gegebene binäre quadratische Form durch die Werte festgelegt, und zwar lautet die explizite Beschreibung
-
Mit der Konjugation gilt
-
-
und
-
Somit ist der mittlere Koeffizient der quadratischen Form gleich
-
und die Diskriminate der quadratischen Form ist gleich
-
Wir ziehen nun die Basis des Ideals
gemäß Fakt
heran. Die Diskriminante ist dann
-
Ja nach Fall ist die Klammer rechts gleich bzw. gleich . Im ersten Fall ist das Quadrat davon gleich . Im zweiten Fall ist das Quadrat davon gleich . Wenn man also die Norm durch die Norm des Ideals dividiert, die ja nach
Fakt
gleich ist, so ergibt sich in beiden Fällen eine quadratische Form, deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches ist. Da die Diskriminante
(bis eventuell auf den Faktor )
quadratfrei ist, folgt
nach Aufgabe,
dass die Form einfach ist.