Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei ein reell-quadratischer Zahlbereich zu quadratfreiem und sei eine fixierte reelle Einbettung.

Dann besitzt ein Minimum und dieses ist eine Fundamentaleinheit.

Beweis  

Die Einheitengruppe von ist nach Fakt isomorph zu , alle Einheiten sind von der Form mit und einer Fundamentaleinheit . Diese Beschreibung gilt auch in der Einbettung nach . Mit ist genauso und eine Fundamentaleinheit. Damit können wir annehmen. Zwischen und kann es keine weitere Einheit aus geben, da sie ja die Form besitzt, was bei negativem Vorzeichen negativ ist und bei (positivem Vorzeichen und) zwischen und liegt. Für ist .


Wir werden die Fundamentaleinheit (bezüglicher einer reellen Einbettung) häufig als die Fundamentaleinheit schlechthin bezeichnen. Man beachte, dass das Bild der Einbettung eine dichte Teilmenge ist. Zwischen und der gewählten Fundamentaleinheit gibt es also unendlich viele Zahlen aus , aber eben keine weiteren Einheiten.



Lemma  

Es sei ein reell-quadratischer Zahlbereich zu quadratfreiem und sei eine fixierte reelle Einbettung.

Dann sind für jede Einheit die Komponenten und positiv.

Beweis  

Mit sind auch Einheiten, wobei diese drei Elemente kleiner als sind, da konjugierte Elemente im quadratischen Fall bis eventuell auf das Vorzeichen invers zueinander sind. Deshalb ist , woraus folgt, und , woraus folgt.



Lemma  

Es sei ein reell-quadratischer Zahlbereich zu quadratfreiem und sei eine fixierte reelle Einbettung.

Dann ist die Fundamentaleinheit dadurch charakterisiert, dass bei ihr unter allen Einheiten die erste Komponente minimal ist.

Beweis  

Nach Fakt gibt es eine Fundamentaleinheit , und diese ist unter den Einheiten oberhalb von minimal. Es sei eine weitere solche Einheit . Dann ist diese von der Form

mit . Bei folgt daraus sofort, dass , und bei kommt wegen Fakt nach Fakt nur in Frage, was überhaupt (unabhängig von der Einheitenbedingung) das Minimum für die erste Komponente ist.



Explizit geht es bei um die Lösungen der Gleichung

mit ganzzahlig und bei um Lösungen der Gleichung

mit ganzzahlig mit geradzahlig, was auf die ganzzahlige Gleichung

führt. Diese Gleichung (en) nennt man auch die Pellsche Gleichung, wobei der Sprachgebrauch nicht einheitlich ist. Die Gleichung in der letzten Form erfasst jedenfalls alle Möglichkeiten, wobei nicht jede Lösung zu einer Einheit führt, beispielsweise entspricht

direkt keiner Lösung (die Hälfte davon aber wiederum schon).


Bemerkung  

Mit Fakt kann man prinzipiell konstruktiv eine Fundamentaleinheit bestimmen, indem man zu aufsteigendem (ganzzahlig oder ein ganzzahliges Vielfaches von ) untersucht, ob die Gleichung

eine Lösung in besitzt, wofür nur endlich viele Kandidaten zu überprüfen sind. Man hat aber von vornherein keine Schranke für , daher weiß man nicht, wie schnell diese Methode zum Erfolg führt.


Pell's equation.svg



Beispiel  

In ist wegen

das Element eine Einheit. Nach Fakt handelt es sich um die eindeutig bestimmte Fundamentaleinheit .



Beispiel  

Wir suchen in gemäß Bemerkung nach der Fundamentaleinheit, nach Fakt müssen wir nur mit ganzzahligen überprüfen, ob

gilt. Für gibt es keine Lösung, und bei ist mit eine Lösung gefunden. Somit ist die Fundamentaleinheit. Die anderen Einheiten oberhalb von sind , , u.s.w.


Für quadratfreies kann man so algorithmisch die Fundamentaleinheit des quadratischen Zahlbereiches bestimmen. Für kleine ergibt sich die folgende Tabelle.

Die Norm der Fundamentaleinheit ist wie von jeder Einheit gleich oder . Es ist eine interessante Frage, ob die Fundamentaleinheit die Norm oder ist. Für ist die Norm der Fundamentaleinheit gleich .