Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Kleine Zahlen/Einführung/Textabschnitt
Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß ist und egal wie klein ein positives ist, man kann stets mit hinreichend vielen die Zahl übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.
Lemma
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper.
Dann gibt es zu mit stets ein mit .
Beweis
Wir betrachten . Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein mit . Da positiv ist, gilt nach Fakt (6) auch .
Lemma
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei .
Dann gibt es eine natürliche Zahl mit .
Beweis
Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei an eine sehr große und bei an eine sehr kleine Zahl.
Lemma
Beweis
Wir schreiben mit . Aufgrund von Fakt gibt es eine natürliche Zahl mit . Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung
Korollar
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und mit .
Dann gibt es zu jedem positiven eine natürliche Zahl mit