Rationale Zahlen/Periodische Ziffernentwicklung/Textabschnitt

Für einen Bruch ${}{\frac {a}{b}}$ zu ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ liefert der Divisionsalgorithmus nach Fakt  (3) eine periodische Entwicklung ${}z,z_{-1}z_{-2}\ldots$. die nach Fakt die Dezimalbruchfolge zur Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ ist. Zu einer rationalen Zahl gehört also eine periodische Ziffernentwicklung. Die Umkehrung gilt ebenfalls.

Satz

Eine reelle Zahl ist

genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.

Beweis

Die Periodizität der Ziffernentwicklung zu ${}{\frac {a}{b}}$ wurde in Fakt  (3) in Verbindung mit Fakt bewiesen.
Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl ${}x$ vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl ${}\neq 0$ noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form

$0,z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}z_{m-1}z_{m-2}{\ldots }z_{0}{\ldots }$

besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als

${\left(\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\right)}\cdot 0,00{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }00100{\ldots }001{\ldots }$

auffassen, wobei die Einsen an der ${}m$-ten, ${}2m$-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe

$\sum _{i=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{10^{m}}}\right)}^{i}.$

Nach Fakt konvergiert dies gegen

${}{\frac {1}{1-{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{m}}}-1={\frac {1}{\left({\frac {99{\cdots }99}{10^{m}}}\right)}}-1={\frac {10^{m}}{99{\cdots }99}}-1={\frac {1}{99{\cdots }99}}\,,$

wobei jeweils ${}m$ Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.

$\Box$

Die entsprechende Aussage gilt für die Ziffernentwicklung zu jeder Basis, nicht nur im Dezimalsystem. Eine reelle Zahl mit einer periodischen Ziffernentwicklung wird so geschrieben, dass man einen Strich über die Periode macht, also beispielsweise

$351,0528{\overline {82700}}.$

Beispiel

Wir bestimmen mit Hilfe des Beweises zu Fakt die rationale Zahl, die durch die periodische Zifferententwicklung

$0{,}7{\overline {41}}$

gegeben ist. Es ist

${}{\begin{aligned}0{,}7{\overline {41}}&=0{,}7+0{,}0{\overline {41}}\\&=0{,}7+{\frac {1}{10}}\cdot 0{,}{\overline {41}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot 0{,}{\overline {01}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {1}{10}}\cdot 41\cdot {\frac {1}{99}}\\&={\frac {7}{10}}+{\frac {41}{990}}\\&={\frac {693+41}{990}}\\&={\frac {734}{990}}\\&={\frac {367}{495}}.\end{aligned}}$