Reelle Analysis/1/Übersicht

		Mengen und Abbildungen ${}\bullet$ Mengenoperationen ${}\bullet$ Produktmenge ${}\bullet$ Verknüpfungen
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		Körper ${}\bullet$ Die Körperaxiome Gesetze der Addition Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$. ${}0$ ist das neutrale Element, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.   Gesetze der Multiplikation Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.   Distributivgesetz Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.   ${}\bullet$ Rechenregeln
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		Der Körper ${}\mathbb {R}$ ${}\bullet$ Ordnungsaxiome Angeordneter Körper Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$), Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$), erfüllt.   Archimedisch angeordnet Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}n\geq x\,$ gibt.   ${}\bullet$ Ordnungseigenschaften ${}\bullet$ Vollständigkeitsaxiom Vollständig angeordneter Körper Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert (also in ${}K$ einen Grenzwert besitzt).
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		Topologie von ${}\mathbb {R}$ ${}\bullet$ Suprema ${}\bullet$ Intervalle ${}\bullet$ Folgen und Konvergenz		Der Körper ${}{\mathbb {C} }$ ${}\bullet$ Definition Komplexe Zahlen Die Menge $\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch ${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$ definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit ${\mathbb {C} }$ bezeichnet.   ${}\bullet$ Operationen Real- und Imaginärteil Zu einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$ heißt ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,$ der Realteil von ${}z$ und ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,$ heißt der Imaginärteil von ${}z$.   Komplexe Konjugation Die Abbildung ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}:=a-b{\mathrm {i} },$ heißt komplexe Konjugation.   Betrag einer komplexen Zahl Zu einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$ ist der Betrag durch ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$ definiert.   ${}\bullet$ Polarkoordinaten
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Stetigkeit von reellen Funktionen ${}\bullet$ Zwischenwertsatz Zwischenwertsatz Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$. Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=u$.   ${}\bullet$ Verhalten auf kompakten Mengen				Spezielle Funktionen ${}\bullet$ Polynomfunktionen ${}\bullet$ Potenzfunktionen ${}\bullet$ Exponentialfunktionen ${}\bullet$ Trigonometrische Funktionen
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Differenzierbarkeit von reellen Funktionen ${}\bullet$ Mittelwertsatz ${}\bullet$ Monotonie ${}\bullet$ Extrema ${}\bullet$ Taylor-Entwicklung