Reelle Exponentialfunktion/Einführung/Ohne stetig/Textabschnitt

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Die Exponentialfunktionen für die Basen und .

Die oben auf den rationalen Zahlen definierten Exponentialfunktionen besitzen eine Fortsetzung auf die reellen Zahlen, die entsprechend mit

bezeichnet wird. Diese Fortsetzung ist stetig und es gelten die entsprechenden Eigenschaften. Der Nachweis der Existenz dieser Fortsetzung ist nicht einfach und wird hier nicht durchgeführt. Die Grundidee ist, eine beliebige reelle Zahl als Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen darzustellen und dann

zu definieren, wobei man zuerst zeigen muss, dass diese Folge konvergiert. Ferner muss man zeigen, dass dieser Wert unabhängig von der gewählten gegen konvergierenden Folge ist.


Definition  

Es sei eine positive reelle Zahl. Die Funktion

heißt Exponentialfunktion zur Basis .

Man kann zeigen, dass die entstehenden reellen Exponentialfunktionen stetig sind und dass sich die in Fakt gezeigten Eigenschaften auf die reellen Zahlen ausdehnen.


Lemma

Es sei eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion

folgende Eigenschaften.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .



Satz  

Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion

ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.

Beweis  

Die Homomorphieeigenschaft folgt direkt aus der Funktionalgleichung, die Injektivität folgt aus der der Monotonieeigenschaft in Zusammenhang mit Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei vorgegeben. Nach Fakt gibt es ganze Zahlen mit

Aufgrund des Zwischenwertsatzes, den wir wegen der in Fakt bewiesenen Stetigkeit der Exponentialfunktionen anwenden können, gibt es ein mit

was die Surjektivität bedeutet.


Eine besonders wichtige Exponentialfunktion ergibt sich, wenn man als Basis die eulersche Zahl nimmt, die wir als

eingeführt haben. In Bemerkung haben wir erwähnt, dass diese Zahl mit

übereinstimmt. Für diese Exponentialfunktion gibt es ebenfalls eine weitere Darstellung, die sich an dieser Reihe orientiert, die Darstellung als Potenzreihe. Auch diese Übereinstimmung können wir hier nicht beweisen.


Satz

Für die Exponentialfunktion zur Basis gilt die Darstellung

Eine Besonderheit dieser Funktion ist, dass sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Steigung der Tangenten an einem Punkt des Graphen stimmt also stets mit dem Funktionswert überein.