Beweis
Wir definieren rekursiv eine
Intervallschachtelung
, und zwar setzen wir
-
und eine beliebige reelle Zahl mit
.
Es seien die Intervallgrenzen bis zum Index bereits definiert, die Intervalle seien ineinander enthalten und es gelte dabei
-
Wir setzen
-
und
-
Dadurch wird eine Grenze beibehalten und die andere Grenze wird durch das arithmetische Mittel der beiden Vorgängergrenzen ersetzt. Insbesondere gelten die angegebenen Eigenschaften für alle Intervalle und es liegt eine Intervallschachtelung vor. Es sei die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Fakt
festgelegte reelle Zahl. Nach
Aufgabe
gilt
-
Damit ist nach
Fakt (2)
-
Wegen der Konstruktion der Intervallgrenzen ist dies nach
Fakt
sowohl als auch , also ist
.