Rees-Algebra/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man die ${}\mathbb {N}$-graduierte ${}R$-Algebra

${}R\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}^{2}\oplus {\mathfrak {a}}^{3}\oplus \ldots =\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}\,$

die Rees-Algebra zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$.

Für die Übereinstimmung rechts verwendet man

${}{\mathfrak {a}}^{0}=R\,.$

Die ${}n$-te homogene Komponente ist also der ${}R$-Modul ${}{\mathfrak {a}}^{n}$. Da sich aus ${}f\in {\mathfrak {a}}^{n}$ und ${}g\in {\mathfrak {a}}^{m}$ direkt ${}fg\in {\mathfrak {a}}^{n+m}$ ergibt, handelt es sich in der Tat um eine graduierte Algebra. Wegen der Inklusion ${}{\mathfrak {a}}^{n+1}\subseteq {\mathfrak {a}}^{n}$ muss man aufpassen. Ein Element ${}f\in {\mathfrak {a}}^{n+1}\subseteq {\mathfrak {a}}^{n}$ definiert in der Rees-Algebra unterschiedliche Elemente, je nachdem, ob man es in ${}{\mathfrak {a}}^{n+1}$ oder in ${}{\mathfrak {a}}^{n}$ auffasst! Diese Quelle von Missverständnis kann man umgehen, wenn man die Rees-Algebra als die von ${}{\mathfrak {a}}T$ in ${}R[T]$ erzeugte Unteralgebra auffasst. Bei dieser Darstellung kann man ${}fT^{n+1}$ und ${}fT^{n}$ nicht verwechseln. Diese Darstellung zeigt zugleich, dass bei endlich erzeugtem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ die zugehörige Rees-Algebra als Algebra endlich erzeugt über ${}R$ ist.

Beispiel

Die Rees-Algebra zum Ideal ${}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ im Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist die von den ${}X_{1}T,\ldots ,X_{n}T$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}][T]$ erzeugte Unteralgebra. Wenn man diese Erzeuger mit ${}Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ bezeichnet, so hat man die Relationen

${}X_{i}Y_{j}=X_{j}Y_{i}\,$

für alle ${}i,j$ und in der Tat ist die Rees-Algebra gleich

$K[X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]/(X_{i}Y_{j}-X_{j}Y_{i}).$

Lemma

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem noetherschen Ring ${}R$

ist die Rees-Algebra ${}\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$ ebenfalls noethersch.

Beweis

Das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ist endlich erzeugt und daher ist die Rees-Algebra als Algebra endlich erzeugt über ${}R$. Somit ist sie nach Fakt noethersch.

$\Box$

Definition

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ und einem ${}R$-Modul ${}M$ nennt man den ${}\mathbb {N}$-graduierten Modul

$\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M$

den Rees-Modul zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ und zum Modul ${}M$.

Ein homogenes Element der Rees-Algebra, sagen wir ${}f\in {\mathfrak {a}}^{n}$ wird dabei mit einem homogenen Element des Moduls, ${}v=gw$ mit ${}g\in {\mathfrak {a}}^{m}$ und ${}w\in M$ auf

${}fv=fgw\in {\mathfrak {a}}^{n+m}M\,$

abgebildet. Zu einem noetherschen Ring und einem endlich erzeugten Modul ist der Rees-Modul ein noetherscher Modul über der Rees-Algebra.