Restklassenring/Z mod n/Multiplikative Ordnung und Divisionsalgorithmus/Textabschnitt
Es ist
die Periodenlänge ist also . Zugleich besteht die Einheitengruppe von aus Elementen. Wir bringen hier generell den Divisionsalgorithmus (das schrifltiche dividieren) für die Berechnung der Dezimalentwicklung von durch mit dem Restklassenring in Verbindung. Insbesondere ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der Periodenlänge der Dezimalentwicklung und der multiplikativen Ordnung der in , falls teilerfrem zu , also eine Einheit in ist. Der Divisionsalgorithmus zu durch funktioniert nach dem Schema (siehe Fakt und Fakt)
Es wird sukzessive Divisionen mit Rest durchgeführt, die bezeichnen die -te Nachkommaziffer des Bruches und der Rest wird mit multipliziert, um die nächste Nachkommaziffer und den nächsen Rest zu erhalten. Wenn sich ein Rest wiederholt (und das muss passieren, da es ja nur endlich viele Reste gibt), so wiederholen sich ab dieser Stelle auch die Ziffern (die Ziffern können sich wiederholen, ohne dass daran schon das periodische Verhalten ablesbar ist) und man erhält eine Periodizität.
Es sei eine positive natürliche Zahl mit der Faktorzerlegung
wobei zu teilerfremd sei.
Dann ist die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von gleich der multiplikativen Ordnung von in .
Die Fälle oder sind erlaubt. Die Periodenlänge einer abbrechenden Dezimalentwicklung verstehen wir als (die wiederholt sich). Da die teilerfremd zu ist, ist in eine Einheit und besitzt daher eine multiplikative Ordnung. Der Divisionsalgorithmus berechnet sukzessive die Reste von in , da ja der vorhergehende Rest mit multipliziert wird. Periode tritt ein, wenn sich Reste erstmalig wiederholen, wenn also in mit ist und minimal mit dieser Eigenschaft sind. Der chinesische Restsatz liefert die Isomorphie
und die Bedingung muss in den drei Komponenten gelten. In den ersten beiden Komponenten ist nilpotent, da ja ein Vielfaches von und ein Vielfaches von ist. Diese Komponenten sind also für die Periodenlänge unerheblich (allerdings spielen sie eine Rolle für die Frage, wann frühestens die Periodizität anfängt). In der dritten Komponente ist eine Einheit, also ein Element der Einheitengruppe . Nach Fakt tritt die erste Wiederholung ein, wenn erstmalig gilt, also bei der multiplikativen Ordnung von .
Dass die Dezimalentwicklung von die Periode besitzt hängt unmittelbar damit zusammen, dass
in ein Erzeuger der Einheitengruppe ist. Es ist
die Periodenlänge ist die multiplikative Ordnung von in . Die Berechnung der multiplikativen Ordnung von in vereinfacht sich, wenn man für die Faktorzerlegung in zueinander teilerfremde Faktoren kennt.
