Riemann-Roch/Ebene Kurve/Tautologischer Twist/Motivation/Bemerkung

Es sei ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ vom Grad ${}d$. Es sei

${}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{C}(e)={\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e){|}_{C}\,$

Wir wollen die Anzahl der globalen Schnitte von ${}{\mathcal {O}}_{C}(e)$ berechnen. Dazu betrachten wir die kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e-d){\stackrel {F}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(e)\longrightarrow 0$

auf der projektiven Ebene und den Anfang der zugehörigen langen exakten Kohomologiesequenz

$0\longrightarrow H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e-d)\right)}\longrightarrow H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e)\right)}\longrightarrow H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{C}(e)\right)}\longrightarrow H^{1}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e-d)\right)}=0,$

wobei die Gleichheit rechts auf Fakt beruht. Für ${}e\geq d$ kann man mit Aufgabe die Dimensionen der beteiligten Vektorräume einfach ausrechnen, es ist

${}{\begin{aligned}\dim _{K}{\left(H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{C}(e)\right)}\right)}&=\dim _{K}{\left(H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e)\right)}\right)}-\dim _{K}{\left(H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e-d)\right)}\right)}\\&={\binom {e+2}{2}}-{\binom {e-d+2}{2}}\\&={\frac {(e+2)(e+1)-(e+2-d)(e+1-d)}{2}}\\&={\frac {2de+3d-d^{2}}{2}}\\&=de-{\frac {(d-1)(d-2)}{2}}+1.\end{aligned}}$

Wegen

${}H^{0}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{C}(e)\right)}=H^{0}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}(e)\right)}\,$

(nach Fakt) ist dies die Vektorraumdimension der globalen Schnitte von ${}{\mathcal {O}}_{C}(e)$ über ${}C$. Dabei ist ${}de$ nach Fakt der Grad von ${}{\mathcal {O}}_{C}(e)$ und nach Fakt ist ${}{\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$ das (kohomologische) Geschlecht ${}g$ der Kurve. Für ${}e\geq d$ gilt also

${}\dim _{K}{\left(H^{0}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}(e)\right)}\right)}=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {O}}_{C}(e))-g+1\,.$

Für ${}e<0$ kann diese Formel nicht richtig sein, da dann die linke Seite ${}0$ ist und die rechte Seite beliebig negativ wird. Der Satz von Riemann-Roch zeigt, dass für eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf einer glatten projektiven Kurve ${}C$ eine entsprechende Formel gilt, bei der aber die linke Seite zu ${}\dim _{K}{\left(H^{0}{\left(C,{\mathcal {L}}\right)}\right)}-\dim _{K}{\left(H^{1}{\left(C,{\mathcal {L}}\right)}\right)}$ abgewandelt werden muss. Die erste Kohomologie tritt hier also als Korrekturterm auf.