Riemann-integrierbare Funktion/Ist Maß-integrierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Wir nehmen an, dass ${}f$ nichtnegativ ist. Es seien

$s,t\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine obere bzw. eine untere Treppenfunktion, wobei wir die untere Treppenfunktion ebenfalls als nichtnegativ annehmen können. Dann gilt aufgrund der Monotonie des Maßes die Beziehung

${}\int _{I}s\,d\lambda ^{1}\leq \int _{I}f\,d\lambda ^{1}\leq \int _{I}t\,d\lambda ^{1}\,.$

Die beiden Subgraphen zu den Treppenfunktionen ${}s$ und ${}t$ sind dabei jeweils eine endliche disjunkte Vereinigung von (halboffenen) Rechtecken. Daher sind die beiden äußeren Integrale aufgrund der Definition des Produktmaßes gleich dem Treppenintegral. Somit ist das Integral ${}\int _{I}f\,d\lambda ^{1}$ kleiner/gleich jedem oberen Treppenintegral und größer/gleich jedem unteren Treppenintegral von ${}f$. Diese Abschätzungen gelten dann auch für das Infimum der oberen Treppenintegrale bzw. das Supremum der unteren Treppenintegrale. Da diese aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit übereinsimmen, muss das maßtheoretische Integral gleich dem Riemann-Integral sein.

Zur bewiesenen Aussage