Riemann-integrierbare Funktion/Ist Maß-integrierbar/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir nehmen an, dass nichtnegativ ist. Es seien

eine obere bzw. eine untere Treppenfunktion, wobei wir die untere Treppenfunktion ebenfalls als nichtnegativ annehmen können. Dann gilt aufgrund der Monotonie des Maßes die Beziehung

Die beiden Subgraphen zu den Treppenfunktionen und sind dabei jeweils eine endliche disjunkte Vereinigung von (halboffenen) Rechtecken. Daher sind die beiden äußeren Integrale aufgrund der Definition des Produktmaßes gleich dem Treppenintegral. Somit ist das Integral kleiner/gleich jeder Obersumme und größer/gleich jeder Untersumme von . Diese Abschätzungen gelten dann auch für das Infimum der Obersummen bzw. das Supremum der Untersummen. Da diese aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit übereinsimmen, muss das maßtheoretische Integral gleich dem Riemann-Integral sein.

Zur bewiesenen Aussage