Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Textabschnitt

Für Formen von höherem Grad und äußerer Ableitung siehe

Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt und Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt

Im Zweidimensionalen besitzt eine ${}2$-Form die lokale Gestalt

$hdx\wedge dy$

mit einer reell- oder komplexwertigen differenzierbaren Funktion ${}h$. Im Komplexen gilt die Beziehung

${}dz\wedge d\,{\overline {z}}=-2{\mathrm {i} }dx\wedge dy\,.$

Die äußere Ableitung bildet eine ${}1$-Form ${}fdx+gdy$ auf

${}{\begin{aligned}d(fdx+gdy)&=df\wedge dx+dg\wedge dy\\&={\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)}\wedge dx+{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}dx+{\frac {\partial g}{\partial y}}dy\right)}\wedge dy\\&={\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}dx\wedge dy\end{aligned}}$

ab. Eine Form ${}fdz$ wird auf ${}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ abgebildet.

Satz

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche.

Dann ist der Komplex

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

exakt.

Beweis

Da die Exaktheit eine lokale Frage ist, können wir direkt annehmen, dass ${}X$ eine offene Kreisscheibe ${}U$ ist. Eine Differentialform in der Mitte besitzt die Gestalt ${}fdz$ mit ${}f\in {\mathcal {E}}(U)$, sie wird auf ${}df=-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ abgebildet. Dies ist genau dann ${}0$, wenn ${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ gleich ${}0$ ist. Deshalb folgt die Exaktheit in der Mitte aus der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung und die Exaktheit rechts aus Fakt.

$\Box$

Nach Fakt gibt es auf einer riemannschen Fläche mit abzählbarer Topologie eine differenzierbare nullstellenfreie Flächenform ${}\tau$. Dabei gilt

${}\int _{X}\tau \neq 0\,.$

Daraus folgt im kompakten Fall mit Fakt, dass zu einer ${}1$-Form ${}\omega$ die Ableitung ${}d\tau$ nicht die Flächenform ist. Eine positive Flächenform liegt also in der Situation des vorstehenden Satzes nicht im globalen Bild und wird auf eine nichttriviale erste Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,\Omega )$ abgebildet.