Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine ${}k$-Differentialform (oder ${}k$-Form oder Form vom Grad ${}k$) ist ein Schnitt im ${}k$-fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels, also eine Abbildung

$\omega \colon M\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega (P),$

mit ${}\omega (P)\in \bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$.

Wir bezeichnen die Menge der ${}k$-Formen auf ${}M$ mit

${\mathcal {E}}^{k}(M).$

Bemerkung  

Eine ${}k$-Form ordnet also jedem Punkt ${}P$ der Mannigfaltigkeit ein Element aus ${}\bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$ zu. Dies ist nach Fakt und Fakt das gleiche wie eine alternierende multilineare Abbildung

$T_{P}M\times \cdots \times T_{P}M\longrightarrow \mathbb {R} .$

Diese zugehörige Abbildung bezeichnen wir ebenfalls mit ${}\omega (P)$; für ${}k$ Tangentialvektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}M$ ist also

$\omega (P)(v_{1},\ldots ,v_{k})$

eine reelle Zahl. Dabei treten zwei grundverschiedene Argumente auf, einerseits der Punkt der Mannigfaltigkeit und andererseits Elemente aus dem Tangentialraum an diesem Punkt. Die Abhängigkeit von den Tangentialvektoren ist verhältnismäßig einfach, da es sich ja um eine alternierende multilineare Abbildung handelt, dagegen ist die Abhängigkeit von der Mannigfaltigkeit beliebig kompliziert. Da die Dachprodukte des Kotangentialbündels nach Aufgabe selbst Mannigfaltigkeiten sind, kann man sofort von stetigen oder (wenn ${}M$ eine ${}C^{2}$-Mannigfaltigkeit ist) differenzierbaren Differentialformen sprechen.

Für ${}k=0$ kommt der Kotangentialraum nur formal vor, eine ${}0$-Form ist nichts anderes als eine Funktion ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$. Eine ${}1$-Form (man spricht auch von einer Pfaffschen Form) ordnet jedem Punkt und jedem Tangentialvektor an ${}P$ eine reelle Zahl zu. Für ${}k>n=\operatorname {dim} \,M$ ist das ${}k$-fache Dachprodukt der Nullraum und daher gibt es gar keine nichttrivialen Formen von diesem Grad. Besonders wichtig ist der Fall ${}k=n=\operatorname {dim} \,M$. Dann besitzt das ${}n$-te Dachprodukt den Rang ${}1$ (d. h. die Dimension ist in jedem Punkt ${}1$) und ein Schnitt darin wird lokal durch eine einzige Funktion beschrieben. Eine empfehlenswerte Vorstellung ist dabei, dass zu ${}n$ Tangentialvektoren die Zahl ${}\omega (P)(v_{1},\ldots ,v_{n})$ das („orientierte“) Volumen des durch die Vektoren im Tangentialraum aufgespannten Paralleltops angibt. Diese Vorstellung ist auch bei kleineren ${}k$ hilfreich, mit den ${}\omega (P)(v_{1},\ldots ,v_{k})$ kann man das ${}k$-dimensionale Volumen des durch ${}k$ Tangentialvektoren erzeugten Parallelotops berechnen. Diese Vorstellung wird präzisiert, wenn man über eine ${}k$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit integriert.

Lemma

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und zu ${}k\in \mathbb {N}$ sei ${}{\mathcal {E}}^{k}(M)$ die Menge der ${}k$-Formen auf ${}M$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die ${}{\mathcal {E}}^{k}(M)$ bilden mit den natürlichen Operationen versehen reelle Vektorräume.
2. Zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ und einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   ist auch ${}f\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$, wobei ${}f\omega$ durch

   ${}(f\omega )(P):=f(P)\omega (P)\,$

   definiert ist.

3. Jede ${}C^{1}$-differenzierbare Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   definiert über die Tangentialabbildung ${}Tf$ eine ${}1$-Differentialform

   $df\colon M\longrightarrow T^{*}M,\,P\longmapsto T_{P}f,$

   wobei der Tangentialraum von ${}\mathbb {R}$ in ${}f(P)$ mit ${}\mathbb {R}$ identifiziert wird. Dies ergibt eine Abbildung

   $d\colon C^{1}(M,\mathbb {R} )\longrightarrow {\mathcal {E}}^{1}(M),\,f\longmapsto df.$

4. Wenn ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine offene Teilmenge ist, so ist bei der Identifizierung

   ${}TM\cong M\times \mathbb {R} ^{m}\,$

   die Abbildung aus (3) gleich

   $M\longrightarrow M\times (\mathbb {R} ^{m})^{*},\,P\longmapsto (P,{\left(Df\right)}_{P}{\left(-\right)}).$

5. Die Abbildung ${}d$ aus (3) ist ${}\mathbb {R}$-linear.

Beweis

(1) und (2) folgen unmittelbar aus einer punktweisen Betrachtung.
(3). Für jeden Punkt ${}P\in M$ ist

$T_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow T_{f(P)}\mathbb {R} \cong \mathbb {R}$

eine nach Fakt  (3) lineare Abbildung und somit ein Element in ${}T_{P}^{*}M$, das wir mit ${}(df)_{P}$ bezeichnen. Die Zuordnung ${}P\mapsto (df)_{P}$ ist daher eine Differentialform.
(4) folgt aus Fakt  (1).
(5). Die Abbildung in (3) ist für jeden Punkt ${}P\in M$ auf jeder offenen Umgebung festgelegt. Wir können daher annehmen, dass ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine offene Menge ist, so dass die Aussage aus (4) und Fakt folgt.

$\Box$

Zu einer offenen Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ hat man die Koordinatenfunktionen

$x_{j}\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

zur Verfügung, die sich bei einer gegebenen Karte auf eine offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit übertragen. In jedem Punkt ${}Q\in V$ bilden die ${}dx_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, eine Basis des Kotangentialraumes an ${}Q$. Dies ist einfach die Dualbasis der Standardbasis im umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$, den man auf ganz ${}V$ als Tangentialraum nimmt. Zu einer ${}k$-elementigen Teilmenge

${}J=\{j_{1},\ldots ,j_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}\,$

setzt man

${}dx_{J}=dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{k}}\,,$

dies ist eine besonders einfache ${}k$-Form auf ${}V$. Für jeden Punkt ${}Q\in V$ ist

${}dx_{J}(Q)=(dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{k}})(Q)=dx_{j_{1}}(Q)\wedge \ldots \wedge dx_{j_{k}}(Q)=e_{j_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}}^{*}\,.$

Die Wirkungsweise von dieser Form auf ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\in \bigwedge ^{k}T_{Q}V$ ist nach Fakt gegeben durch

${}{\left(e_{j_{1}}^{*}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}}^{*}\right)}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k})=\det {\left(e_{j_{i}}^{*}(v_{\ell })\right)}_{i\ell }=\det {\left((v_{\ell })_{j_{i}}\right)}_{i\ell }\,.$

Gemäß Fakt bilden die Auswertungen der Differentialformen (mit $j_{1}<\ldots <j_{k}$)

${}dx_{J}=dx_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{j_{k}}\,$

für jeden Punkt ${}Q$ eine Basis von ${}\bigwedge ^{k}T_{Q}^{*}V$, und daher lässt sich jede auf ${}V$ definierte ${}k$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(V)$ eindeutig als

${}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$

schreiben mit eindeutig bestimmten Funktionen

$f_{J}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .$

Lemma

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

$x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$.

Dann lässt sich jede auf ${}U$ definierte ${}k$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als

${}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$

mit eindeutig bestimmten Funktionen

$f_{J}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

$x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion.

Dann gilt für die zugehörige ${}1$-Differentialform ${}df$ die Darstellung

${}df=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}dx_{j}\,.$

Beweis

Wir können sofort annehmen, dass sich alles auf der offenen Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ abspielt. Für jeden Punkt ${}Q\in V$ gilt die folgende Gleichheit von Linearformen auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$,

${}{\begin{aligned}(df)_{Q}&=\left(Df\right)_{Q}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(Q),\,\ldots ,\,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(Q)\right)\\&={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(Q)dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(Q)dx_{n}.\end{aligned}}$

$\Box$