Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine -Differentialform (oder -Form oder Form vom Grad ) ist ein Schnitt im -fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels, also eine Abbildung

mit .

Wir bezeichnen die Menge der -Formen auf mit

Bemerkung  

Eine -Form ordnet also jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Element aus zu. Dies ist nach Fakt und Fakt das gleiche wie eine alternierende multilineare Abbildung

Diese zugehörige Abbildung bezeichnen wir ebenfalls mit ; für Tangentialvektoren ist also

eine reelle Zahl. Dabei treten zwei grundverschiedene Argumente auf, einerseits der Punkt der Mannigfaltigkeit und andererseits Elemente aus dem Tangentialraum an diesem Punkt. Die Abhängigkeit von den Tangentialvektoren ist verhältnismäßig einfach, da es sich ja um eine alternierende multilineare Abbildung handelt, dagegen ist die Abhängigkeit von der Mannigfaltigkeit beliebig kompliziert. Da die Dachprodukte des Kotangentialbündels nach Aufgabe selbst Mannigfaltigkeiten sind, kann man sofort von stetigen oder (wenn eine -Mannigfaltigkeit ist) differenzierbaren Differentialformen sprechen.

Für kommt der Kotangentialraum nur formal vor, eine -Form ist nichts anderes als eine Funktion . Eine -Form (man spricht auch von einer Pfaffschen Form) ordnet jedem Punkt und jedem Tangentialvektor an eine reelle Zahl zu. Für ist das -fache Dachprodukt der Nullraum und daher gibt es gar keine nichttrivialen Formen von diesem Grad. Besonders wichtig ist der Fall . Dann besitzt das -te Dachprodukt den Rang (d. h. die Dimension ist in jedem Punkt ) und ein Schnitt darin wird lokal durch eine einzige Funktion beschrieben. Eine empfehlenswerte Vorstellung ist dabei, dass zu Tangentialvektoren die Zahl das („orientierte“) Volumen des durch die Vektoren im Tangentialraum aufgespannten Paralleltops angibt. Diese Vorstellung ist auch bei kleineren hilfreich, mit den kann man das -dimensionale Volumen des durch Tangentialvektoren erzeugten Parallelotops berechnen. Diese Vorstellung wird präzisiert, wenn man über eine -dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit integriert.




Lemma  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und zu sei die Menge der -Formen auf . Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die bilden mit den natürlichen Operationen versehen reelle Vektorräume.
  2. Zu einer Differentialform und einer Funktion

    ist auch , wobei durch

    definiert ist.

  3. Jede -differenzierbare Funktion

    definiert über die Tangentialabbildung eine -Differentialform

    wobei der Tangentialraum von in mit identifiziert wird. Dies ergibt eine Abbildung

  4. Wenn eine offene Teilmenge ist, so ist bei der Identifizierung die Abbildung aus (3) gleich
  5. Die Abbildung aus (3) ist -linear.

Beweis  

(1) und (2) folgen unmittelbar aus einer punktweisen Betrachtung.
(3). Für jeden Punkt ist

eine nach Fakt  (3) lineare Abbildung und somit ein Element in , das wir mit bezeichnen. Die Zuordnung ist daher eine Differentialform.
(4) folgt aus Fakt  (1).
(5). Die Abbildung in (3) ist für jeden Punkt auf jeder offenen Umgebung festgelegt. Wir können daher annehmen, dass eine offene Menge ist, so dass die Aussage aus (4) und Fakt folgt.


Zu einer offenen Menge hat man die Koordinatenfunktionen

zur Verfügung, die sich bei einer gegebenen Karte auf eine offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit übertragen. In jedem Punkt bilden die , , eine Basis des Kotangentialraumes an . Dies ist einfach die Dualbasis

der Standardbasis im umgebenden Raum , den man auf ganz als Tangentialraum nimmt. Zu einer -elementigen Teilmenge

setzt man

dies ist eine besonders einfache -Form auf . Für jeden Punkt ist

Die Wirkungsweise von dieser Form auf ist gegeben durch

Gemäß Fakt bilden die Auswertungen der Differentialformen (mit )

für jeden Punkt eine Basis von , und daher lässt sich jede auf definierte -Differentialform eindeutig als

schreiben mit eindeutig bestimmten Funktionen



Lemma  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge mit einer Karte

und offen. Es seien

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, .

Dann lässt sich jede auf definierte -Differentialform eindeutig schreiben als

mit eindeutig bestimmten Funktionen

Beweis  

Dies folgt aus Fakt.




Korollar  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge mit einer Karte

und offen. Es seien

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, . Es sei

eine differenzierbare Funktion.

Dann gilt für die zugehörige -Differentialform die Darstellung

Beweis  

Wir können sofort annehmen, dass sich alles auf der offenen Menge abspielt. Für jeden Punkt gilt die folgende Gleichheit von Linearformen auf dem ,