Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eine stetig differenzierbare ${}k$-Differentialform mit der Darstellung

${}\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}\,$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

$f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

Dann nennt man die ${}(k+1)$-Form

${}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,$

die äußere Ableitung von ${}\omega$.

Manchmal spricht man genauer von der ${}k$-ten äußeren Ableitung. Der Differenzierbarkeitsgrad der Differentialform senkt sich dabei um ${}1$, wie man an den Koeffizientenfunktionen direkt ablesen kann.

Die äußere Ableitung ist für ${}k=0,\ldots ,n$ interessant, ab ${}k\geq n$ handelt es sich um die Nullabbildung. Wenn man sich auf glatte Differentialformen beschränkt, so ergibt sich insgesamt eine Folge von äußeren Ableitungen, nämlich

$C^{\infty }(U,\mathbb {R} )={\mathcal {E}}_{\infty }^{0}(U){\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}_{\infty }^{1}(U){\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}_{\infty }^{2}(U){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}_{\infty }^{n-1}(U){\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}_{\infty }^{n}(U){\stackrel {d}{\longrightarrow }}0.$

An der ersten Stelle steht hier einfach die Ableitung einer Funktion (die einzige Indexmenge mit ${}0$ Elementen ist die leere Menge), also die Zuordnung ${}f\mapsto df$.

Die wichtigsten Eigenschaften der äußeren Ableitung fassen wir wie folgt zusammen.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}k\in \mathbb {N}$ und es sei

$d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{k}(U)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(U),\,\omega \longmapsto d\omega ,$

die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die äußere Ableitung

   $d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{0}(U)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{1}(U),$

   ist das totale Differential.

2. Die äußere Ableitung ist ${}\mathbb {R}$-linear.
3. Für ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(U)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}_{1}^{\ell }(U)$ gilt die Produktregel

   ${}d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{k}\omega \wedge (d\tau )\,.$

   Für ${}k=0$ ist dies als

   ${}d(f\tau )=(df)\wedge \tau +fd\tau \,$

   zu lesen.

4. Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform ${}\omega$ ist ${}d(d\omega )=0$.
5. Für eine stetig differenzierbare Abbildung (mit ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen)

   $\psi \colon W\longrightarrow U$

   und jedes ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(U)$ gilt für die zurückgezogenen Differentialformen

   ${}d(\psi ^{*}\omega )=\psi ^{*}(d\omega )\,.$

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition (die leere Menge ist die einzige relevante Indexmenge).
(2). Die Linearität folgt direkt aus der Definition, der Linearität des totalen Differentials und der Multilinearität des äußeren Produktes.

(3). Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten auf ${}\mathbb {R} ^{n}$. Wegen der Linearität von ${}d$ und der Multilinearität des Dachprodukts können wir die beiden Differentialformen als ${}\omega =fdx_{I}$ und ${}\tau =gdx_{J}$ mit Indexmengen ${}I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ und ${}J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}$ schreiben. Es gilt dann

${}{\begin{aligned}d(\omega \wedge \tau )&=d{\left(fdx_{I}\wedge gdx_{J}\right)}\\&=d{\left((fg)dx_{I}\wedge dx_{J}\right)}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial (fg)}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}+f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}\right)}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}+\sum _{s=1}^{n}f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge fdx_{I}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}(-1)^{k}fdx_{I}\wedge {\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+(-1)^{k}fdx_{I}\wedge d(gdx_{J}).\end{aligned}}$

(4). Für eine ${}1$-Form ${}\omega =\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ ist unter Verwendung von ${}dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}$

${}{\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d(g_{j}dx_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ${}f$ ist ${}df=\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ mit den partiellen Ableitungen ${}g_{j}={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$, und daher ist ${}d(df)=0$ nach dem Satz von Schwarz.

Für eine Differentialform vom Grad ${}k$ setzen wir ${}\omega =fdx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$ an und erhalten

${}d(d\omega )=d(df\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}})\,.$

Nach der Produktregel (3) ist dieser Ausdruck eine Summe von ${}k+1$ Dachprodukten, bei denen jeweils ein „Dachfaktor“ die Form ${}d(dg)=0$ besitzt.

(5). Wir schreiben

${}\psi _{i}=x_{i}\circ \psi \,.$

Wegen der Linearität der äußeren Ableitung (2) und der Linearität des Zurückziehens von Differentialformen kann man ${}\omega =fdx_{I}$ mit ${}I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ ansetzen. Da das Zurückziehen nach Aufgabe und Aufgabe mit der Multiplikation mit skalaren Funktionen und mit dem Dachprodukt verträglich ist, gilt unter Verwendung der Produktregel (3), der Regel (4) und der Kettenregel (im Sinne von Aufgabe)

${}{\begin{aligned}d{\left(\psi ^{*}\omega \right)}&=d{\left(\psi ^{*}{\left(fdx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)\psi ^{*}{\left(dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f){\left(\psi ^{*}dx_{i_{1}}\right)}\wedge \ldots \wedge {\left(\psi ^{*}dx_{i_{k}}\right)}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)\right)}\wedge {\left(d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}+(\psi ^{*}(f))d{\left(d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)\right)}\wedge {\left(d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}\\&=\psi ^{*}(df)\wedge d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\\&=\psi ^{*}(df)\wedge \psi ^{*}{\left(dx_{i_{1}}\right)}\wedge \ldots \wedge \psi ^{*}{\left(dx_{i_{k}}\right)}\\&=\psi ^{*}{\left(df\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\\&=\psi ^{*}{\left(d{\left(fdx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

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Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann definiert man zu einer differenzierbaren Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ die äußere Ableitung ${}d\omega \in {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M)$ unter Bezugnahme auf den lokalen Fall und Karten

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen) durch

${}(d\omega ){|}_{U}=d{\left(\omega {|}_{U}\right)}=\alpha ^{*}{\left(d{\left(\alpha ^{-1*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}\right)}\right)}\,.$

Man zieht also die auf ${}U$ eingeschränkte Differentialform nach ${}V$ zurück, nimmt dort die äußere Ableitung gemäß den lokalen Vorschriften und zieht das Ergebnis nach ${}U$ zurück. Man muss sich klar machen, dass dies eine wohldefinierte Differentialform auf ${}M$ ergibt, dass es also zu einem Punkt ${}P\in M$ egal ist, unter Bezug auf welche Kartenumgebung die äußere Ableitung gebildet wird. Seien also zwei Karten für ${}P$ gegeben, wobei wir gleich annehmen dürfen, dass ihr Definitionsbereich gleich ${}U$ ist. Die Karten seien

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

und

$\beta \colon U\longrightarrow W$

und wir setzen ${}\tau =\omega {|}_{U}$. Dann ergibt sich, wobei wir Fakt  (5) auf ${}\alpha \circ \beta ^{-1}$ und ${}\alpha ^{-1*}\tau$ anwenden,

${}{\begin{aligned}\beta ^{*}{\left(d{\left(\beta ^{-1^{*}}(\tau )\right)}\right)}&={\left(\beta \circ \alpha ^{-1}\circ \alpha \right)}^{*}{\left(d{\left({\left(\alpha ^{-1}\circ \alpha \circ \beta ^{-1}\right)}^{*}(\tau )\right)}\right)}\\&=\alpha ^{*}{\left(\beta \circ \alpha ^{-1}\right)}^{*}{\left(d{\left({\left(\alpha \circ \beta ^{-1}\right)}^{*}\alpha ^{-1*}(\tau )\right)}\right)}\\&=\alpha ^{*}{\left(d{\left(\alpha ^{-1*}(\tau )\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Auch die grundlegenden Eigenschaften von oben übertragen sich auf Mannigfaltigkeiten.

Satz

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}k\in \mathbb {N}$ und es sei

$d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M),\,\omega \longmapsto d\omega ,$

die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die äußere Ableitung

   $d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{0}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{1}(M),$

   ist die Tangentialabbildung.

2. Die äußere Ableitung ist ${}\mathbb {R}$-linear.
3. Für ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}_{1}^{\ell }(M)$ gilt die Produktregel

   ${}d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{k}\omega \wedge d\tau \,$

4. Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform ${}\omega$ ist ${}d(d\omega )=0$.
5. Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine stetig differenzierbare Abbildung

   $\psi \colon L\longrightarrow M$

   und jedes ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ gilt für die zurückgezogenen Differentialformen

   ${}d(\psi ^{*}\omega )=\psi ^{*}(d\omega )\,.$

Beweis

Dies sind alles lokale Aussagen, sodass sie sich aus Fakt ergeben.

$\Box$