Riemannsche Flächen/Biholomorphe Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

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Satz  

Es seien und riemannsche Flächen und sei eine bijektive holomorphe Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung holomorph.

Beweis  

Wegen Fakt ist auch die Umkehrabbildung stetig. Die Holomorphe der Umkehrabbildung folgt mit Fakt  (5) aus der lokalen Version Fakt.



Definition  

Zwei riemannsche Flächen und heißen biholomorph, wenn es holomorphe Abbildungen und gibt mit und .

Statt biholomorph sagt man häufig auch einfach isomorph. Fakt besagt, dass eine bijektive holomorphe Abbildung automatisch biholomorph ist. Biholomorphe riemannsche Flächen sind insbesondere homöomorph und als reelle Mannigfaltigkeiten diffeomorph. Die Umkehrung gilt dabei nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.


Beispiel  

Die komplexen Zahlen und die offene Kreisscheibe sind nicht biholomorph, da jede holomorphe Funktion nach Fakt konstant ist.