Riemannsche Flächen/Biholomorphe Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine bijektive holomorphe Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}\colon Y\rightarrow X$ holomorph.

Beweis

Wegen Fakt ist auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ stetig. Die Holomorphe der Umkehrabbildung folgt mit Fakt  (5) aus der lokalen Version Fakt.

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Definition

Zwei riemannsche Flächen ${}X$ und ${}Y$ heißen biholomorph, wenn es holomorphe Abbildungen ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und ${}\psi \colon Y\rightarrow X$ gibt mit ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$ und ${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$.

Statt biholomorph sagt man häufig auch einfach isomorph. Fakt besagt, dass eine bijektive holomorphe Abbildung automatisch biholomorph ist. Biholomorphe riemannsche Flächen sind insbesondere homöomorph und als reelle Mannigfaltigkeiten diffeomorph. Die Umkehrung gilt dabei nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ und die offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ sind nicht biholomorph, da jede holomorphe Funktion ${}{\mathbb {C} }\rightarrow U{\left(0,1\right)}$ nach Fakt konstant ist.