Riemannsche Fläche/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Ein topologischer Hausdorff-Raum zusammen mit einer offenen Überdeckung und Homöomorphismen

mit derart, dass die Übergangsabbildungen

Diffeomorphismen sind, heißt komplexe Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten , , nennt man auch den Atlas der Mannigfaltigkeit.

Lokal sieht also eine komplexe Mannigfaltigkeit wie eine offene Teilmenge im aus. Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist insbesondere eine reelle Mannigfaltigkeit der reellen Dimension . Hiervon gilt nicht die Umkehrung, da entscheidend bei einer komplexen Mannigfaltigkeit ist, dass die Übergangsabbildungen komplex-differenzierbar ist. Dies ist eine deutlich stärkere Forderung, als dass die Übergangsabbildungen reell-differenzierbar sind.


Definition  

Eine riemannsche Fläche ist eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension .

Eine riemannsche Fläche hat die komplexe Dimension und die reelle Dimension , deshalb spricht man von Flächen. Es handelt sich somit um zweidimensionale Gebilde, bei denen zusätzlich eine komplexe Struktur vorliegt und fixiert ist. Jede offene Teilmenge von , und insbesondere selbst und ein offener Ball ist eine riemannsche Fläche. Es sei schon jetzt erwähnt, dass und als topologische Räume und als reelle Mannigfaltigkeiten homöomorph bzw. diffeomorph sind, aber nicht als riemannsche Flächen isomorph (das nennt man dann biholomorph) sind. Die komplexe Struktur ist also eine neue entscheidende Struktur. Andererseits ist jeder offene Ball zur Standardkreisscheibe biholomorph, da man das eine durch verschieben und strecken ineinander überführen kann.

Die komplexe Struktur verkompliziert einerseits die topologische bzw. reelle Situation, indem topologisch äquivalente Sachen verschiedene komplexe Strukturen haben können, andererseits vereinfacht sie aber auch die Situation, da man beispielsweise die Übergangsabbildungen und die relevanten Funktionen mit nur einen komplexen Variablen beschreiben kann und da die komplexe Differenzierbarkeit bereits die Analytizität, also die lokale Entwickelbarkeit in einer Potenzeihe, bedeutet. In der Welt der reimannschen Flächen gibt es eine viele engere Beziehung zwischen dem lokalen und dem globalen Verhalten von Funktionen.


Beispiel  

Auf der reell zweidimensionalen Sphäre

erhält man über die stereographischen Projektionen ( und steht für Nordpol und Südpol)

und

die Übergangsabbildung

die komplex-differenzierbar ist. Dadurch ist auf der Kugeloberfläche die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit gegeben. Diese heißt die komplex-projektive Gerade.