Riemannscher Abbildungssatz/Surjektivitätskriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}f$ nicht surjektiv und sei ${}a\in U{\left(0,1\right)}$ nicht im Bild. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung

${}h=\alpha \circ f\,$

mit

${}\alpha (w)={\frac {w-a}{1-{\overline {a}}w}}\,,$

also die Funktion

${}h(z)={\frac {f(z)-a}{1-{\overline {a}}f(z)}}\,.$

Nach Aufgabe bildet ${}\alpha$ den Einheitskreis in sich ab, daher ist auch ${}h$ eine Abbildung von ${}U$ in den Einheitskreis. Da ${}h$ nullstellenfrei und ${}U$ einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Fakt eine Funktion

$\psi \colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$

mit ${}(\psi (z))^{2}=h(z)$. Beachte dabei ${}h(0)=-a$ und ${}\vert {\psi (0)}\vert ^{2}=\vert {h(0)}\vert =\vert {a}\vert$. Wir betrachten nun

${}g=\beta \circ \psi \,$

mit

${}\beta (u)={\frac {u-\psi (0)}{1-{\overline {\psi (0)}}u}}\,,$

also

${}g(z)={\frac {\psi (z)-\psi (0)}{1-{\overline {\psi (0)}}\psi (z)}}\,.$

Nach Konstruktion ist ${}g$ injektiv und bildet in den Einheitskreis ab. Ferner ist ${}g(0)=0$. Schließlich gilt unter Verwendung von Aufgabe

${}{\begin{aligned}\vert {g'(0)}\vert &=\vert {\frac {\psi '(0){\left(1-{\overline {\psi (0)}}\psi (0)\right)}}{{\left(1-{\overline {\psi (0)}}\psi (0)\right)}^{2}}}\vert \\&=\vert {\frac {\psi '(0)}{1-\vert {\psi (0)}\vert ^{2}}}\vert \\&=\vert {\frac {\psi '(0)}{1-\vert {a}\vert }}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-\vert {a}\vert }}\cdot \vert {{\frac {1-a{\overline {a}}}{\sqrt {-a}}}\cdot f'(0)}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-\vert {a}\vert }}\cdot {\frac {1-\vert {a}\vert ^{2}}{\sqrt {\vert {a}\vert }}}\cdot \vert {f'(0)}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1+\vert {a}\vert }{\sqrt {\vert {a}\vert }}}\cdot \vert {f'(0)}\vert \\&>\vert {f'(0)}\vert ,\end{aligned}}$

wobei die letzte Abschätzung auf (der strikten Version von) Aufgabe beruht.

Zur bewiesenen Aussage