Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

  Wir beginnen mit einigen Reduktionen. Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass  ${}P=0$  und  ${}\varphi (P)=0$  ist. Es sei  ${}D=\left(D\varphi \right)_{P}$  die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung ${}D^{-1}$. Wir betrachten die Gesamtabbildung

$G{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}V_{2}{\stackrel {D^{-1}}{\longrightarrow }}V_{1}.$

Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist  ${}D^{-1}\circ D=\operatorname {Id}$.  Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für ${}\varphi$, da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass ${}\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{1}=V_{2}$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit  ${}\varphi (0)=0$  ist, deren totales Differential in ${}0$ die Identität ist. Wir werden dennoch von ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt.
Sei  ${}y\in V_{2}$  fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung

$H_{y}\colon G\longrightarrow V_{2},\,x\longmapsto H_{y}(x)=x-\varphi (x)+y.$

Diese Hilfsabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt  ${}x\in G$  ist genau dann ein Fixpunkt von ${}H_{y}$, also ein Punkt mit  ${}H_{y}(x)=x-\varphi (x)+y=x$,  wenn  ${}\varphi (x)=y$  ist, d.h. wenn ${}x$ ein Urbild von ${}y$ unter ${}\varphi$ ist. Die Abbildungen ${}H_{y}$ sind selbst stetig differenzierbar und es gilt  ${}\left(DH_{y}\right)_{x}=\operatorname {Id} -\left(D\varphi \right)_{x}$. 
  Wir möchten den Banachschen Fixpunktsatz auf ${}H_{y}$ anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von ${}y$ unter ${}\varphi$ nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm. Wegen der Stetigkeit von ${}x\mapsto \left(D\varphi \right)_{x}$ und wegen

${}\left(D\varphi \right)_{0}=\operatorname {Id} \,$

gibt es ein ${}r\in \mathbb {R}$, ${}r>0$, derart, dass für alle  ${}x\in B\left(0,r\right)$  die Abschätzung

${}\Vert {\left(DH_{y}\right)_{x}}\Vert =\Vert {\operatorname {Id} -\left(D\varphi \right)_{x}}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\,$

gilt. Für jedes  ${}x\in B\left(0,r\right)$  gilt daher nach der Mittelwertabschätzung die Abschätzung

${}{\begin{aligned}\Vert {x-\varphi (x)}\Vert &=\Vert {H_{0}(x)}\Vert \\&=\Vert {H_{0}(x)-H_{0}(0)}\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert {x}\Vert .\end{aligned}}$

Für ${}y\in B\left(0,{\frac {r}{2}}\right)$ und ${}x\in B\left(0,r\right)$ gilt

${}{\begin{aligned}\Vert {H_{y}(x)}\Vert &=\Vert {x-\varphi (x)+y}\Vert \\&\leq \Vert {x-\varphi (x)}\Vert +\Vert {y}\Vert \\&\leq {\frac {\Vert {x}\Vert }{2}}+{\frac {r}{2}}\\&\leq {\frac {r}{2}}+{\frac {r}{2}}\\&=r.\end{aligned}}$

Für jedes  ${}y\in B\left(0,{\frac {r}{2}}\right)$  liegt also eine Abbildung

$H_{y}\colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)$

vor.
Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt für zwei Punkte  ${}x_{1},x_{2}\in B\left(0,r\right)$  die Abschätzung

${}\Vert {H_{y}(x_{1})-H_{y}(x_{2})}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert {x_{1}-x_{2}}\Vert \,,$

sodass ${}H_{y}$ eine stark kontrahierende Abbildung ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel ${}B\left(0,r\right)$ vollständig sind (siehe Aufgabe und Aufgabe), besitzt jede Abbildung ${}H_{y}$ aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes genau einen Fixpunkt aus ${}B\left(0,{\frac {r}{2}}\right)$, den wir mit ${}\psi (y)$ bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist  ${}\varphi (\psi (y))=y$. 
Zu  ${}y\in U{\left(0,{\frac {r}{2}}\right)}$  gehört das eindeutige Urbild  ${}x\in B\left(0,r\right)$  zur offenen Kugel ${}U{\left(0,r\right)}$, wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen ${}U_{2}=U{\left(0,{\frac {r}{2}}\right)}$ und ${}U_{1}=\varphi ^{-1}(U_{2})\cap U{\left(0,r\right)}$, wobei ${}U_{1}$ aufgrund der Stetigkeit von ${}\varphi$ offen ist. Die eingeschränkte Abbildung

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2},\,x\longmapsto \varphi (x)$

ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung

$\psi \colon U_{2}\longrightarrow U_{1},$

die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen.
Wir zeigen zuerst, dass ${}\psi$ Lipschitz-stetig ist mit der Lipschitz-Konstanten ${}2$. Seien  ${}y_{1},y_{2}\in U_{2}$  gegeben mit den eindeutigen Elementen  ${}x_{1},x_{2}\in U_{1}$  mit ${}\varphi (x_{1})=y_{1}$ und ${}\varphi (x_{2})=y_{2}$. Es gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\Vert {x_{2}-x_{1}}\Vert &=\Vert {H_{0}(x_{2})+\varphi (x_{2})-H_{0}(x_{1})-\varphi (x_{1})}\Vert \\&\leq \Vert {H_{0}(x_{2})-H_{0}(x_{1})}\Vert +\Vert {\varphi (x_{2})-\varphi (x_{1})}\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert {x_{2}-x_{1}}\Vert +\Vert {\varphi (x_{2})-\varphi (x_{1})}\Vert ,\end{aligned}}$

wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich

${}\Vert {\psi (y_{2})-\psi (y_{1})}\Vert =\Vert {x_{2}-x_{1}}\Vert \leq 2\Vert {y_{2}-y_{1}}\Vert \,.$

Aufgrund von Fakt ist ${}\psi$ auch differenzierbar und es gilt die Formel

${}\left(D\psi \right)_{y}=(\left(D\varphi \right)_{\psi (y)})^{-1}\,.$

Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von ${}y$ ablesen, da ${}\psi$ stetig ist, da das totale Differential von ${}\varphi$ nach Voraussetzung stetig von  ${}x=\psi (y)$ 

abhängt und da das Bilden der Umkehrmatrix ebenfalls stetig ist.

Zur gelösten Aufgabe