Satz über implizite Abbildung/Endlichdimensional/Direkte Summe/Bemerkung

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Den Satz über implizite Abbildungen kann man auch so formulieren: Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, offen und es sei eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt, in dem das totale Differential surjektiv sei, und es sei eine direkte Summenzerlegung von in Untervektorräume und (mit ) derart, dass und surjektiv (und damit bijektiv ist) ist (dadurch ist , aber nicht eindeutig festgelegt). Dann gibt es offene Mengen und mit und eine stetig differenzierbare Abbildung

derart, dass der Graph von , also

mit der Faser über , geschnitten mit , also

übereinstimmt. Sind auf und jeweils Basen fixiert mit Koordinaten bzw. ( und seien die Dimensionen von und ), so wird lokal die Faser durch den Graphen von Funktionen in den Variablen gegeben. Die Faser ist dann nach den Variablen „aufgelöst“, d.h. diese Koordinaten lassen sich unter der impliziten Bedingung, dass die Punkte zur Faser gehören sollen, explizit durch die anderen, frei wählbaren Koordinaten ausdrücken.