Satz über implizite Abbildung/Endlichdimensional/Direkte Summe/Bemerkung

Den Satz über implizite Abbildungen kann man auch so formulieren: Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen und es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}a\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{a}$ surjektiv sei, und es sei ${}V=E_{1}\oplus E_{2}$ eine direkte Summenzerlegung von ${}V$ in Untervektorräume ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ (mit ${}a=(a_{1},a_{2})$) derart, dass ${}E_{1}=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{a}$ und ${}\left(D\varphi \right)_{a}|_{E_{2}}$ surjektiv (und damit bijektiv ist) ist (dadurch ist ${}E_{1}$, aber nicht ${}E_{2}$ eindeutig festgelegt). Dann gibt es offene Mengen ${}a_{1}\in U_{1}\subseteq E_{1}$ und ${}a_{2}\in U_{2}\subseteq E_{2}$ mit ${}U_{1}\times U_{2}\subseteq G$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\theta \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

derart, dass der Graph von ${}\theta$, also

${}\Gamma ={\left\{(x,\theta (x))\mid x\in U_{1}\right\}}\,,$

mit der Faser über ${}b=\varphi (a)$, geschnitten mit ${}U_{1}\times U_{2}$, also

${\left\{(x,v)\in U_{1}\times U_{2}\mid \varphi (x,v)=b\right\}},$

übereinstimmt. Sind auf ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ jeweils Basen fixiert mit Koordinaten ${}(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ bzw. ${}(v_{1},\ldots ,v_{m})$ (${}n$ und ${}m$ seien die Dimensionen von ${}V$ und ${}W$), so wird lokal die Faser durch den Graphen von ${}m$ Funktionen ${}\theta _{1},\ldots ,\theta _{m}$ in den ${}n-m$ Variablen ${}(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ gegeben. Die Faser ist dann nach den Variablen ${}(v_{1},\ldots ,v_{m})$ „aufgelöst“, d.h. diese Koordinaten lassen sich unter der impliziten Bedingung, dass die Punkte zur Faser gehören sollen, explizit durch die anderen, frei wählbaren Koordinaten ${}(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ ausdrücken.