Der Durchschnitt besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher
nach Aufgabe
annehmen, dass alle Schnittpunkte in
liegen. Es seien und die inhomogenen Polynome aus , die die affinen Kurven und beschreiben. Damit ist
Dabei beruht die letzte Gleichung auf
Fakt.
Wir wollen die -Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von
Fakt,
dass sie für hinreichend groß gleich ist.
Wir wählen eine
Basis
von
( hinreichend groß und fixiert)
und behaupten, dass die Dehomogenisierungen eine Basis von bilden. Dazu sei beliebig vorgegeben mit Homogenisierung vom Grad . Es sei so gewählt, dass
ist. Aufgrund von
Fakt
sind die Abbildungen
()
-
injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die
, ,
eine Basis von . Es gibt dann also eine Darstellung
.
Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für .
Zum Nachweis der
linearen Unabhängigkeit
sei
-
angenommen, sodass in eine Gleichung
-
vorliegt. Dabei setzen wir als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke
- nämlich und -
vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von können wir annehmen, dass
und
(homogen sind und)
den gleichen Grad besitzen. Nach
Aufgabe
ist dann bereits
-
Diese Gleichung bedeutet
in , woraus sich
ergibt.