Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt

Einführung

In Mathematik gibt es zwei verschiedene Begriffe von Semi-Skalarproduktes bzw. eines Semi-inneren Produktes. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten $L$ -semi-inneren Produkt oder $L$ -Semi-Skalarprodukt, das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss.

L-Semi-Skalarprodukt

Das $L$ -Semi-Skalarprodukt wurde durch Günter Lumer formuliert, um Hilbertraum-Argumente auf Banachräume in der Funktionalanalysis zu erweitern.^[1] Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht^[2].

Semi-Skalarprodukt

Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der Funktionalanalysis häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus $⟨ x, x ⟩ = 0$ folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt $x = 0_{V}$ .

Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten

Lokalkonvexe Räume $(V, ‖ \cdot ‖_{𝒜})$ sind topologische Vektorräume, die von einem System von Halbnormen $‖ \cdot ‖_{α}$ mit $α \in 𝒜$ topologisiert werden (siehe auch Topologisierungslemma für Algebren). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ , die wie bei Hilberträumen $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ durch die induzierte Norm $‖ x ‖ := \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ durch die von den Semi-Skalarprodukten $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ induzierten Halbnormen $‖ x ‖_{α} := \sqrt{⟨ x, x ⟩_{α}}$ den Vektorraum $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩_{𝒜})$ zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen.

Definition: Semi-Skalarprodukt

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $𝕂$ der reellen oder komplexen Zahlen. Ein Semi-Skalarprodukt^[2] oder semi-inneres Produkt ist allgemein eine nicht-negativ hermitesche Sesquilinearform, wobei im reellen Fall $ℝ$ das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist.

Semi-Skalarprodukt: Abbildung

Bzgl. des gewählten Körpers $𝕂 = ℝ, ℂ$ heißt eine Abbildung

⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α} : V \times V \to 𝕂

Semi-Skalarprodukt, wenn diese für alle $x$ , $y$ , $z$ aus $V$ und für alle $λ \in 𝕂$ die folgenden Bedingungen erfüllt. Die Unterschiede zwischen $ℝ$ - und $ℂ$ -Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben.

Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität

Das Semi-Skalarprodukt mit $𝕂 = ℝ, ℂ$ ist nicht-negativ , d.h. $⟨ x, x ⟩_{α} \geq 0$ mit $𝕂 = ℝ, ℂ$ für alle $x \in V$ .

Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch

Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch

(3-R) $⟨ x, y ⟩_{α} = ⟨ y, x ⟩_{α}$ (symmetrisch) $𝕂 = ℝ$
(3-C) $⟨ x, y ⟩_{α} = \overline{⟨ y, x ⟩_{α}}$ (hermitesch) $𝕂 = ℂ$

Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente

Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall $𝕂 = ℝ$ in der 1. Komponente linear.

(4.1-R) $⟨ λ x, y ⟩_{α} = λ ⟨ x, y ⟩_{α}$ und
(4.2-R) $⟨ x + y, z ⟩_{α} = ⟨ x, z ⟩_{α} + ⟨ y, z ⟩_{α}$ (linear im ersten Argument).

Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente

Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall $𝕂 = ℂ$ in der 1. Komponente semilinear, d.h.

(4.1-C) $⟨ λ x, y ⟩_{α} = \overline{λ} ⟨ x, y ⟩_{α}$ und
(4.2-C) $⟨ x + y, z ⟩_{α} = ⟨ x, z ⟩_{α} + ⟨ y, z ⟩_{α}$

Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente

Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt linear

(5.1) $⟨ x, λ y ⟩_{α} = λ ⟨ x, y ⟩_{α}$ und
(5.2) $⟨ x, y + z ⟩_{α} = ⟨ x, y ⟩_{α} + ⟨ x, z ⟩_{α}$

Bemerkung 1

Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet komplexe Konjugation. In einem reellen Vektorraum (also wenn $𝕂 = ℝ$ ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in $ℂ$ immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in $ℂ$ ebenfalls nachweisen.

Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät

Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt. Entscheidend ist, dass in einem der Argumente konjugiert wird.

Prä-Semihilbertraum

Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum $V$ mit einem System $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{𝒜}$ von Semi-Skalarprodukten $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ mit $α \in 𝒜$ , dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt.

Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft

Sei $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩_{𝒜})$ ein Vektorraum mit einem System $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{𝒜}$ von Semi-Skalarprodukten $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ mit $α \in 𝒜$ . $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{𝒜}$ trennt die Punkte von $V$ , wenn folgende Implikation gilt:

(\forall_{α \in 𝒜} : ⟨ v, v ⟩_{α} = 0) ⟹ v = 0_{V}

Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen

Zeigen Sie, dass die durch $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ definierten Funktionen $‖ \cdot ‖_{α} : V \to 𝕂$ mit $‖ x ‖_{α} := \sqrt{⟨ x, x ⟩_{α}}$ Halbnormen sind!

Aufgabe - Hausdorffeigenschaft

Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩_{𝒜})$ die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu $v_{1}, v_{2} \in V$ gibt es eine Umgebung $U_{1}$ von $v_{1}$ und eine eine Umgebung $U_{2}$ von $v_{2}$ mit $U_{1} \cap U_{2} = \emptyset$ .

Definition: Prä-Semihilbertraum

Ein Prä-Semihilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum $V$ mit einem punktetrennenden System $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{𝒜}$ von Semi-Skalarprodukten $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ mit $α \in 𝒜$ , für die gilt:

(euklidisch $ℝ$ ) Über dem Körper der reellen Zahlen $ℝ$ sind alle Semi-Skalarprodukte $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ symmetrische Bilinearformen und
(unitär $ℂ$ ) Über dem Körper der komplexen Zahlen $ℂ$ sind alle Semi-Skalarprodukte $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ hermitesche Sesquilinearformen.

Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum

Der Vektorraum $ℝ^{ℕ}$ der reellen Zahlenfolgen

⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α} : V \times V \to ℝ mit ⟨ v, w ⟩_{α} := \sum_{k = 0}^{α} v_{k} \cdot w_{k}

Das Semi-Skalarprodukt ist für alle Folgen $v, w \in ℝ^{ℕ}$ und alle $α \in ℕ$ definiert.

Beispiel - Unitärer Semihilbertraum

Der Vektorraum $V = ℂ^{ℕ}$ der komplexen Zahlenfolgen

⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α} : V \times V \to ℂ mit ⟨ v, w ⟩_{α} := \sum_{k = 0}^{α} \overline{v_{k}} \cdot w_{k}

Das Semi-Skalarprodukt ist für alle Folgen $v, w \in ℂ^{ℕ}$ und alle $α \in ℕ$ definiert.

Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum

Sei $V_{ℱ} = ℱ (ℝ, ℝ)$ die Mengen aller Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$ . Dann definiert

⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α} : V_{ℱ} \times V_{ℱ} \to 𝕂 mit ⟨ f, g ⟩_{α} := f (α) \cdot g (α)

ein Semi-Skalarprodukt auf dem Funktionenraum $V_{ℱ}$ .

Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum

Sei $X ≠ \emptyset$ eine beliebige Menge und $V_{X} := ℱ (X, ℂ)$ die Mengen aller Abbildungen von $X$ in die komplexen Zahlen $ℂ$ . Dann definiert

⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α} : V_{X} \times V_{X} \to ℂ mit ⟨ f, g ⟩_{α} := \overline{f (α)} \cdot g (α)

ein Semi-Skalarprodukt auf dem Funktionenraum $V_{X}$ . Die induzierte lokalkonvexe Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente $x \in X$ .

Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum

Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum $V_{X} := ℱ (X, ℂ)$ nach, dass ein konvergentes Funktionennetz $(f_{i})_{i \in I}$ punktweise für alle $x \in X$ konvergiert!
Weisen Sie nach, dass die durch die Halbnormen $‖ f ‖_{α} := \sqrt{⟨ f, f ⟩_{α}}$ eine Hausdorff-Raum auf $V_{X}$ erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige $f_{1}, f_{2} \in V_{X}$ mit $f_{1} ≠ f_{2}$ und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen $U_{1} := B_{ε}^{α} (f_{1})$ von $f_{1}$ und $U_{2} := B_{ε}^{α} (f_{2})$ von $f_{2}$ an, für die $U_{1} \cap U_{2} = \emptyset$ gilt.

Aufgabe - Punktetrennung

Zeigen Sie für $(ℂ^{ℕ}, ⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α \in 𝒜})$ mit dem zugehörigen System $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{_{𝒜}} := (⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α})_{α \in 𝒜}$ von Semi-Skalarprodukten $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ die Punkte von $ℂ^{ℕ}$ trennt!

Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum

Das Semiskalarprodukt im Vektorraum $V = ℂ^{ℕ}$ der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert

⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α} : V \times V \to ℝ mit ⟨ v, w ⟩_{α} := \sum_{k = 0}^{α} \overline{v_{k}} \cdot w_{k}

Das Semi-Skalarprodukt ist für alle Folgen $v, w \in ℂ^{ℕ}$ und alle $α \in ℕ$ definiert.

Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum

Erzeugen Sie $ε$ -Umgebungen von $a \in ℂ^{ℕ}$ und $b \in ℂ^{ℕ}$ bzgl. einer Halbnorm mit dem Index $α$ , bei der $ε := \frac{1}{3} \cdot ‖ a - b ‖_{α} > 0$ ist. Dabei sind $a = (a_{k})_{\in ℕ}$ und $b = (b_{k})_{\in ℕ}$ zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen.

Definition: Semihilbertraum

Ein Semihilbertraum ist ein euklischer oder unitärer Prä-Semihilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩_{𝒜})$ mit Semi-Skalarprodukten $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ mit $α \in 𝒜$ , wenn $V$ bzgl. der durch $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ definierten Halbnormen $‖ \cdot ‖_{α}$ mit $‖ x ‖_{α} := \sqrt{⟨ x, x ⟩_{α}}$ vollständig ist.

Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum

Sei $V_{1} := 𝒞 (ℝ, ℝ)$ der Vektorraum der stetigen Funktionen von $v$ nach $ℝ$ . Man definiert zunächst für alle $n \in ℕ$ Abbildungen von $V_{1} \times V_{1}$ nach $ℝ$ wie folgt:

⟨ f, g ⟩_{n} = \int_{- n}^{+ n} f (x) \cdot g (x) d x

Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes

Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach!

Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft

Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{ℕ}$ die Punkte von $V_{1}$ trennt.

Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum

Die Halbnorm für den Index $α \in ℕ$ ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes

‖ f ‖_{α} := \sqrt{⟨ f, f ⟩_{α}} = \sqrt{\int_{- α}^{+ α} f (x)^{2} d x}

Aufgabe - Halbnorm einer Funktion

Berechnen Sie allgemein für $α \in ℕ$ und $f \in V$ mit $f (x) := x^{2}$ die Halbnorm $‖ f ‖_{α}$ der Funktion $f$ !

Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum

Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen

Als erste Funktion $f : ℝ \to ℝ$ wird ein Polynom definiert.

f (x) := \frac{3}{10} \cdot x^{2} - 2

Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion $g : ℝ \to ℝ$ gewählt.

g (x) := 2 \cdot \cos (x) + 1

Die folgende Funktionenfolge $(f_{n})_{n \in ℕ} \in V_{1}^{ℕ}$ entsteht als Konvexkombination $f_{n} := (1 - \frac{1}{n}) \cdot f + \frac{1}{n} \cdot g$ von $f$ und $g$ .

Fragen zu Cauchyfolge

konvergiert $(f_{n})_{n \in ℕ}$ gleichmäßig auf $[a, b]$ gegen $f$ ?
konvergiert $(f_{n})_{n \in ℕ}$ gleichmäßig auf $ℝ$ gegen $f$ ?

Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft

Weisen Sie nach, dass $(f_{n})_{n \in ℕ}$ eine Cauchy-Folge ist!
Weisen Sie nach, dass $(f_{n})_{n \in ℕ}$ gegen $f_{0}$ in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ definierten Halbnormen $‖ \cdot ‖_{α}$ mit

‖ f ‖_{α} = \sqrt{⟨ f, f ⟩_{α}}

Funktionenraum - nicht vollständig

Jede konvergente Folge in einem topologischen Vektorraum ist auch eine Cauchy-Folge. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum $V_{1} := 𝒞 (ℝ, ℝ)$ der stetigen Funktionen auf $ℝ$ . Dabei wird eine Funktionefolge $(f_{n})_{n \in ℕ} \in V_{1}^{ℕ}$ betrachtet, die keinen Grenzwert in $V_{1}$ , weil die die Grenzfunktion $f_{0}$ nicht mehr stetig ist.

Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum

Definieren Sie eine Cauchy-Folge in $V_{1} := 𝒞 (ℝ, ℝ)$ definiert, die nicht in $V_{1}$ konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder $f_{1}, ..., f_{20}$

Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum

Die Punkte $P_{k} \in ℝ^{2}$ werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von $n \in ℕ$ festgelegt:

\begin{matrix} P_{1} = (- 1, 4), P_{2} = (4, 4), P_{3} = (- 1 - \frac{3}{n}, 0), \\ P_{4} = (4 + \frac{3}{n}, 0), P_{5} = (- 4, 0), P_{6} = (7, 0) \end{matrix}

Die stetigen Funktionen $f_{n}$ werden durch die Interpolation der Punkte generiert.

Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme

Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme $g_{1}$ und $g_{2}$ in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion $f_{n}$ ! Dabei ist in diesem Fall $[a, b] := [- 4, 7]$ gewählt worden.

\begin{matrix} f_{n} : [a, b] & \to & ℝ \\ x & \mapsto & {\begin{matrix} 4 & für & x \in [- 1, 4] \\ 0 & für & x \in [- 4, - 1 - \frac{3}{n}] \cup [4 + \frac{3}{n}, 7] \\ g_{1} (x) & für & x \in] - 1 - \frac{3}{n}, - 1 [ \\ g_{2} (x) & für & x \in] 4, 4 + \frac{3}{n} [ \end{matrix} \end{matrix}

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von $g_{1} (x) = m_{1} x + b_{1}$ und $g_{2} (x) = m_{2} x + b_{2}$ !

Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft

Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge $(f_{n})_{n \in ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $V_{1} := 𝒞 ([a, b], ℝ)$ ist!

Grenzfunktion nicht im Funktionenraum

Die folgende Funktion $f_{o} : [a, b] \to ℝ$ ist nicht stetig und daher $f_{0} \notin V_{1} := 𝒞 ([a, b], ℝ)$ mit $[a, b] := [- 4, 7]$ .

\begin{matrix} f_{n} : [a, b] & \to & ℝ \\ x & \mapsto & {\begin{matrix} 4 & für & x \in [- 1, 4] \\ 0 & sonst \end{matrix} \end{matrix}

Vervollständigung des Funktionenraumen

Die folgende Funktion $f_{o} : [a, b] \to ℝ$ ist ein Element der Vervollständigung $\overline{V_{1}}$ von $V_{1} := 𝒞 ([a, b], ℝ)$ bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf $V_{1}$ . Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge $(f_{n})_{n \in ℕ}$ in der Norm $‖ f ‖ := \sqrt{\int_{a}^{b} f (x)^{2} d x}$ gegen $f_{0} \in \overline{V_{1}}$ konvergiert!

Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung

Sei $(f_{n})_{n \in ℕ}$ eine Folge in $V_{1}$ , die gegen $f_{o} \in \overline{V_{1}}$ konvergiert. Man definiert nun $‖ f_{o} ‖_{*} := lim_{n \to \infty} ‖ f_{n} ‖$ .

Zeigen Sie, dass $‖ \cdot ‖_{*}$ eine Halbnorm auf $\overline{V_{1}}$ ist!
Zeigen Sie, dass $‖ \cdot ‖_{*}$ allerdings keine Norm auf $\overline{V_{1}}$ ist.

Hinweis: Approximieren Sie eine Treppenfunktion $f_{o}$ durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von $f_{o}$ verschiedene Funktion $\tilde{f_{o}}$ mit $‖ f_{o} - \tilde{f_{o}} ‖ = 0$ .

Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen

Analog kann mit $ℝ$ dieses obige Beispiel auf einen einen $ℂ$ -Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen $ℂ$ -Vektorraum $V_{2} := 𝒞 (ℝ, ℂ)$ über die Definition des Skalarproduktes:

⟨ f, g ⟩_{α} = \int_{- α}^{+ α} \overline{f (x)} \cdot g (x) d x

Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion

Berechnen Sie von $f (x) = x + i \cdot x^{2}$ mit $f \in V_{2}$ allgemein den Wert der Halbnorm $‖ f ‖_{α}$ für alle $α \in ℕ$ .

Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen

Berechnen Sie von $f (x) = x + i \cdot x^{2}$ und $g (x) = i \cdot x + 1$ mit $f, g \in V_{2}$ den Wert der Semiskalarproduktes $⟨ f, g ⟩_{α}$ für alle $α \in ℕ$ .

Semiorthogonalität in Semihilberträumen

Sei $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩_{𝒜})$ (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ mit $α \in 𝒜$ . Zwei Vektoren $x, y \in V$ heißen

$α$ -orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ in $V$ (Bezeichnung: $x \overset{_{_{α}}}{⊥} y$ ), wenn $⟨ x, y ⟩_{α} = 0$ und heißen
orthogonal ( $x ⊥ y$ ), wenn die Bedingung $⟨ x, y ⟩_{α} = 0$ für alle für $α \in 𝒜$ gilt.

Beispiel - Orthogonalität

Sei $V_{1} := 𝒞 (ℝ, ℝ)$ der Vektorraum der stetigen Funktionen von $v$ nach $ℝ$ . Man definiert zunächst für alle $α \in ℕ$ Abbildungen von $V_{1} \times V_{1}$ nach $ℝ$ wie folgt:

⟨ f, g ⟩_{α} = \int_{- α}^{+ α} f (x) \cdot g (x) d x .

Seien $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) := x^{3}$ als Beispielfunktion aus $V_{1}$ gegeben.

Aufgabe 1 - Orthogonalität

Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) := x^{3}$ bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{ℕ}$ orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges Semiskalarprodukt $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$ mit $α \in ℕ$ und weisen Sie die folgende Gleichung nach:

⟨ f, g ⟩_{α} = \int_{- α}^{+ α} f (x) \cdot g (x) d x = 0

Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen

Seien $V_{1}$ ein topologischer Vektorraum und $V_{2}$ ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner $V := 𝒞 (V_{1}, V_{2})$ die Menge der stetigen Funktionen von $V_{1}$ nach $V_{2}$ , dann ist für $g \in V$ die Abbildung $μ_{g, α} : V \to 𝕂$ mit

μ_{g, α} (f) := ⟨ g, f ⟩_{α}

ein Maß auf $V$ .

Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen $‖ f ‖_{α} := \sqrt{⟨ f, f ⟩_{α}}$ übertragen werden.

| ⟨ g, f ⟩_{α} | \leq ‖ g ‖_{α} \cdot ‖ f ‖_{α}

Beweisschritt 1 - Abschätzung

Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung nach oben ab.

| μ_{g, α} (f) | = | ⟨ g, f ⟩_{α} | \leq \underset{= : M_{α}}{\underset{⏟}{‖ g ‖_{α}}} \cdot ‖ f ‖_{α}

Die Stetigkeitskonstante aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen wird nun unmittelbar über die Halbnorm $M_{α} := ‖ g ‖_{α}$ geliefert.

Beweisschritt 2 - Linearität

Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität

μ_{g, α} (λ \cdot f) = ⟨ g, λ \cdot f ⟩_{α} = λ \cdot ⟨ g, f ⟩_{α} = λ \cdot μ_{g, α} (f)

und die Additivität

\begin{matrix} μ_{g, α} (f_{1} + f_{2}) & = & ⟨ g, f_{1} + f_{2} ⟩_{α} \\ = & ⟨ g, f_{1} ⟩_{α} + ⟨ g, f_{2} ⟩_{α} \\ = & μ_{g, α} (f_{1}) + μ_{g, α} (f_{2}) \end{matrix}

q.e.d.

Aufgabe 4

Begründen Sie, warum die Abbildung

{\tilde{μ}}_{g, α} (f) := ⟨ f, g ⟩_{α}

im Allgemeinen kein Maß auf $V$ für Vektorräume über $ℂ$ ist!

Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung

Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen.

LibreOffice-Datei: handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods

Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte

In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von $V_{1} := 𝒞 (ℝ, ℝ)$ , wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt.

Semantik der Funktionen

Um den Bezug zu den 17 Nachhaltigkeitszielen herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen $g$ und $f$ zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind:

r(t) Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt $t$
a(t) Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung $r (t)$ an regenerativer Energie zum Zeitpunkt $t$

Verfügbarkeit von regenerativer Energie

Die Funktion $r : ℝ \to ℝ$ , die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument $t \in ℝ$ der Funktionen ist der Zeitpunkt und $r (t)$ liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt $t$ . Die Funktion $r (t)$ verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...)

Keine regenerative Energieversorgung

$𝐫 (𝐭) = 𝟎$ : Wenn $r (t) = 0$ deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt $t$ exakt ab.

Regenerative Energieversorgung

$𝐫 (𝐭) > 𝟎$ : Die Funktion $r (t)$ gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt $t$ an.

Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur

$𝐫 (𝐭) < 𝟎$ : Ist die Funktion $r : ℝ \to ℝ$ negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann $r (t) < 0$ sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird $r (t) \geq 0$ angenommen:

Anteil - notwendiger Energieversorgung

Die Funktion $a : ℝ \to ℝ$ beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument $t \in ℝ$ der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt $t$ . Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle.

Ausgeglichene Energiebilanz

a(t)=0: Wenn $a (t) = 0$ deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt $t$ exakt ab.

Versorgungsüberschuss

a(t)> 0: Die Funktion $a$ (z.B. $a (t) = 0, 50 > 0$ ) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich)

Versorgungsdefizit

a(t)< 0: Die Funktion $a : ℝ \to ℝ$ (z.B. $a (t) = - 2 < 0$ ) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit $a (t) = - 2$ wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist).

Produkt der Funktionen

Das Produkt $a \cdot r$ zeigt mit $a (t) \cdot r (t)$ zum Zeitpunkt $t$ die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten).

Veranschaulichung der Funktionsgraphen

Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage):

$𝐫 (𝐭)$ (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung ( $y$ -Achse) zum Zeitpunkt $t$ auf der $x$ -Achse.
$𝐚 (𝐭)$ (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt $t$ .
$𝐛 (𝐭) = r (t) \cdot a (t)$ (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung.

2D-Plot der Graphen

Der folgende Plot wurde mit Maxima CAS erstellt:

Bemerkung zu Wahl der Funktionen

Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert:

$𝐫 (𝐭) = \frac{t^{3}}{10} + t^{2} - t$ (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für $t \in [10, 12]$ mehr Strom verbraucht als geliefert wird.
$𝐚 (𝐭) = \cos (t) + \frac{1}{3}$ (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt $t$ so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen.
$𝐛 (𝐭) = r (t) \cdot a (t)$ (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine Bedarfsdeckung der Versorgung zu haben. An den Nullstellen von $r (t) \cdot a (t)$ ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend.

Singularitäten bei Versorgungsnullstellen

Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt $t_{0}$ geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht $r (t_{0}) = 0$ und immer ein Energiebedarf $≠ 0$ vorliegt, dann hat die Funktion $a (t_{0}) = + \infty$ zu dem Zeitpunkt $t_{0}$ eine Singularität (siehe meromorphe Funktion).

Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster

In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert.

⟨ f, g ⟩_{α} = \int_{- α}^{+ α} f (x) \cdot g (x) d x

Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an:

⟨ r, a ⟩_{_{(t_{1}, t_{2})}} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} r (t) \cdot a (t) d t

Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung

Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit $r (t) \geq 0$ und $t \in [t_{1}, t_{2}]$ für

⟨ r, a ⟩_{_{(t_{1}, t_{2})}} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} r (t) \cdot a (t) d t = 0,

dass in den Zeitfenster $[t_{1}, t_{2}]$ , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit $b (t) := r (t) \cdot a (t) > 0$ so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung $b (t) := r (t) \cdot a (t) < 0$ zusätzlich benötigt wurde.

Orthogonale Funktion - Speicherung

Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen.

Zerlegung in zwei Funktion

Zerlegen Sie die Bilanzfunktion $b (t)$ in zwei Funktionen $b^{+}, b^{-}$ , die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft $b (t) = b^{+} (t) - b^{-} (t)$ erfüllt. Da unter den Voraussetzungen $r (t) \geq 0$ für alle $\in [t_{1}, t_{2}]$ gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion $a (t)$ in zwei Funktionen $a^{+}, a^{-}$ , für die dann gilt:

b (t) = b^{+} (t) - b^{-} (t) = r (t) \cdot (a^{+} (t) - a^{-} (t))

Energiebilanz und Integrale

Für das Semiskalarprodukt gilt:

⟨ r, a ⟩_{_{(t_{1}, t_{2})}} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \underset{= b (t)}{\underset{⏟}{r (t) \cdot a (t)}} d t = 0,

mit:

\int_{t_{1}}^{t_{2}} b (t) d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \underset{\geq 0}{\underset{⏟}{b^{+} (t)}} d t - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \underset{\geq 0}{\underset{⏟}{b^{-} (t)}} d t

Speichereffizienz

Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist.

Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen

Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen:

0 = \underset{= {⟨ r, \frac{40}{100} \cdot a^{+} ⟩}_{_{(t_{1}, t_{2})}}}{\underset{⏟}{\int_{t_{1}}^{t_{2}} \underset{= λ}{\underset{⏟}{\frac{40}{100}}} \cdot \underset{\geq 0}{\underset{⏟}{b^{+} (t)}} d t}} - \underset{= {⟨ r, a^{-} ⟩}_{_{(t_{1}, t_{2})}}}{\underset{⏟}{\int_{t_{1}}^{t_{2}} \underset{\geq 0}{\underset{⏟}{b^{-} (t)}} d t}}

Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion $b^{+}$ mit dem Faktor $λ = \frac{40}{100}$ zu $λ \cdot b^{+}$ skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen.

Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1

Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie:

{⟨ r, \frac{40}{100} \cdot a^{+} - a^{-} ⟩}_{_{(t_{1}, t_{2})}} = \frac{40}{100} \cdot {⟨ r, a^{+} ⟩}_{_{(t_{1}, t_{2})}} - {⟨ r, a^{-} ⟩}_{_{(t_{1}, t_{2})}}

Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2

Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt $t_{1}$ und $t_{2}$ die Energiebilanz ausgeglichen ist.

\frac{40}{100} \cdot {⟨ r, a^{+} ⟩}_{_{(t_{1}, t_{2})}} = {⟨ r, a^{-} ⟩}_{_{(t_{1}, t_{2})}}

Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit

Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten $t_{1}$ und $t_{2}$ ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar!

Beschreibung der Akkuladung

Sei $t_{0} \in ℝ$ der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion $L (t)$ , die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt $t$ :

L (t) := \frac{40}{100} \cdot {⟨ r, a^{+} ⟩}_{_{(t_{0}, t)}} = \frac{40}{100} \cdot \int_{t_{0}}^{t} r (ζ) \cdot a^{+} (ζ) d ζ

Nutzung des Energiespeichers

Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher unbeschränkt und damit bedarfsdeckend. Die Leistung aus dem Speicher $S (t)$ bis zum Zeitpunkt $t \in ℝ$ und Startzeitpunkt $t_{0}$ wird ebenfalls durch ein Semiskalarprodukt beschrieben.

S (t) = {⟨ r, a^{-} ⟩}_{_{(t_{0}, t)}} = \int_{t_{0}}^{t} r (ζ) \cdot a^{-} (ζ) d ζ

Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung

Wie kann man durch Funktionen $S$ und $L$ über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren?

Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität

Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion $F$ , die zum Zeitpunkt $t \in ℝ$ wie folgt definert ist:

F (t) = {⟨ r, a^{+} - a^{-} ⟩}_{_{(t_{0}, t)}} = \int_{t_{0}}^{t} r (ζ) \cdot (a^{+} (ζ) - a^{-} (ζ)) d ζ

Träger von Semi-Skalarprodukten

Für Skalarprodukte $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ ist gibt es nur einen Vektoren aus $V$ der die Bedingung $⟨ x, x ⟩ = 0$ erfüllt - nämlich nur den Nullvektor $0_{V} \in V$ . Im Allgemeinen ist die Menge $N_{α} := {x \in V : ⟨ x, x ⟩_{α} = 0}$ ein Untervektorraum von $V$ . Die abgeschlossene Menge $T_{α} := \overline{V ∖ N_{α}}$ nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{α}$

Beispiel - Überweisungsformular

Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert.

Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben

Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar.

Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde.
Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen.

Siehe auch

Kurse

Quellennachweise

↑ Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.
↑ ^a ^b J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.

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[1] Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.

[Giles-2] J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.

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