Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt

Einführung

In Mathematik gibt es zwei verschiedene Begriffe von Semi-Skalarproduktes bzw. eines Semi-inneren Produktes. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten $L$-semi-inneren Produkt oder $L$-Semi-Skalarprodukt, das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss.

L-Semi-Skalarprodukt

Das $L$-Semi-Skalarprodukt wurde durch Günter Lumer formuliert, um Hilbertraum-Argumente auf Banachräume in Funktionsanalysis zu erweitern. Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht.

Semi-Skalarprodukt

Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der Funktionsanalysis häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus $\langle x,x\rangle =0$ folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt $x=0_{V}$.

Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten

Lokalkonvexe Räume $(V,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ sind topologische Vektorräume, die von einem System von Halbnormen $\|\cdot \|_{\alpha })$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$ topologisiert werden (siehe auch Topologisierungslemma für Algebren). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$, die wie bei Hilberträumen $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ durch die induzierte Norm $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ durch die von den Semi-Skalarprodukten $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$ induzierten Halbnormen $\|x\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle x,x\rangle _{\alpha }}}$ den Vektorraum $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})$ zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen.

Definition: Semi-Skalarprodukt

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K}$ der reellen oder komplexen Zahlen. Ein Semi-Skalarprodukt oder semi-inneres Produkt ist allgemein eine nicht-negativ hermitesche Sesquilinearform, wobei im reellen Fall $\mathbb {R}$ das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist.

Semi-Skalarprodukt: Abbildung

Bzgl. des gewählten Körpers $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ heißt eine Abbildung

$\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }\colon V\times V\to {\mathbb {K} }$

Semi-Skalarprodukt, wenn diese für alle $x$, $y$, $z$ aus $V$ und für alle $\lambda \in {\mathbb {K} }$ die folgenden Bedingungen erfüllt. Die Unterschiede zwischen $\mathbb {R}$- und $\mathbb {C}$-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben.

Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Positivität

Das Semi-Skalarprodukt mit $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ist nicht-negativ , d.h. $\langle {x},{x}\rangle _{\alpha }\geq 0$ mit $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ für alle $x\in V$.

Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch

Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch

• (3-R)    $\langle {x},{y}\rangle _{\alpha }=\langle {y},{x}\rangle _{\alpha }$   (symmetrisch) $\mathbb {K} =\mathbb {R}$
• (3-C)    $\langle {x},{y}\rangle _{\alpha }={\overline {\langle {y},{x}\rangle _{\alpha }}}$   (hermitesch) $\mathbb {K} =\mathbb {C}$

Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente

Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ in der 1. Komponente linear.

• (4.1-R)  $\langle \lambda {x},{y}\rangle _{\alpha }=\lambda \langle {x},{y}\rangle _{\alpha }$   und
• (4.2-R)  $\langle {x}+{y},{z}\rangle _{\alpha }=\langle {x},{z}\rangle _{\alpha }+\langle {y},{z}\rangle _{\alpha }$   (linear im ersten Argument).

Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente

Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ in der 1. Komponente semilinear, d.h.

• (4.1-C)  $\langle \lambda {x},{y}\rangle _{\alpha }={\overline {\lambda }}\langle {x},{y}\rangle _{\alpha }$   und
• (4.2-C)  $\langle {x}+{y},{z}\rangle _{\alpha }=\langle {x},{z}\rangle _{\alpha }+\langle {y},{z}\rangle _{\alpha }$

Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente

Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt linear

• (5.1) $\langle {x},\lambda {y}\rangle _{\alpha }=\lambda \langle {x},{y}\rangle _{\alpha }$   und
• (5.2) $\langle {x},{y}+{z}\rangle _{\alpha }=\langle {x},{y}\rangle _{\alpha }+\langle {x},{z}\rangle _{\alpha }$

Bemerkung 1

Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet komplexe Konjugation. In einem reellen Vektorraum (also wenn ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in $\mathbb {C}$ immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in $\mathbb {C}$ ebenfalls nachweisen.

Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät

Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt:

Prä-Semihilbertraum

Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum $V$ mit einem System $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}}$ von Semi-Skalarprodukten $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt.

Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen

Zeigen Sie, dass die durch $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$ definierten Funktionen $\|\cdot \|_{\alpha }:V\to \mathbb {K}$ mit $\|x\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle x,x\rangle _{\alpha }}}$ Halbnormen sind!

Definition: Prä-Semihilbertraum

Ein Prä-Semihilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum $V$ mit einem System $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}}$ von Semi-Skalarprodukten $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$, für die gilt:

• (euklidisch $\mathbb {R}$) Über dem Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind alle Semi-Skalarprodukte $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$ symmetrische Bilinearformen und
• (unitär $\mathbb {C}$) Über dem Körper der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ sind alle Semi-Skalarprodukte $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$ hermitesche Sesquilinearformen.

Definition: Semihilbertraum

Ein Semihilbertraum ist ein euklischer oder unitärer Prä-Semihilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})$ mit Semi-Skalarprodukten $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$, wenn $V$ bzgl. der durch $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$ definierten Halbnormen $\|\cdot \|_{\alpha }$ mit $\|x\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle x,x\rangle _{\alpha }}}$ vollständig ist.

Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum

Sei $V_{1}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Vektorraum der stetigen Funktionen von $v$ nach $\mathbb {R}$. Man definiert zunächst für alle $n\in \mathbb {N}$ Abbildungen von $V_{1}\times V_{1}$ nach $\mathbb {R}$ wie folgt:

$\displaystyle \langle f,g\rangle _{n}=\int _{-n}^{+n}f(x)\cdot g(x)\,{\rm {d}}x$

Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes

Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach!

Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum

Die Halbnorm für den Index $n\in \mathbb {N}$ ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes

$\|f\|_{n}:={\sqrt {\langle f,f\rangle _{n}}}={\sqrt {\int _{-n}^{+n}f(x)^{2}\,dx}}$

Aufgabe - Halbnorm einer Funktion

Berechnen Sie allgemein für $n\in \mathbb {N}$ und $f\in V$ mit $f(x):=x^{2}$ die Halbnorm $\|f\|_{n}$ der Funktion $f$!

Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum

Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen

Als erste Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ wird ein Polynom definiert.

$f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2$

Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ gewählt.

$g(x):=2\cdot cos(x)+1$

Die folgende Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V_{1}^{\mathbb {N} }$ entsteht als Konvexkombination $f_{n}:=(1-{\frac {1}{n}})\cdot f+{\frac {1}{n}}\cdot g$ von $f$ und $g$.

Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum

Definieren Sie eine Cauchy-Folge in $V_{1}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ definiert, die nicht in $V_{1}$ konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder $f_{1},...,f_{20}$

Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum

Die Punkte $P_{k}\in \mathbb {R} ^{2}$ werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von $n\in \mathbb {N}$ festgelegt: $P_{1}=(-1,4),\,P_{2}=(4,4),\,P_{3}={\bigg (}-1-{\frac {3}{n}},0{\bigg )},\,P_{4}={\bigg (}4+{\frac {3}{n}},0{\bigg )},\,P_{5}=(-4,0),\,P_{6}=(7,0)$ Die stetigen Funktionen $f_{n}$ werden durch die Interpolation der Punkte generiert.

Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme

Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion $f_{n}$!

${\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lcl}4&{\mbox{ für }}&x\in [-1,4]\\0&{\mbox{ für }}&x\in \left[-4,-1-{\frac {3}{n}}\right]\cup \left[4+{\frac {3}{n}},7\right]\\?&{\mbox{ für }}&x\in \left]-1-{\frac {3}{n}},-1\right[\\?&{\mbox{ für }}&x\in \left]4+{\frac {3}{n}},-1\right[\end{array}}\right.\\\end{array}}$

Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft

Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ ist!

Grenzfunktion nicht im Funktionenraum

Die folgende Funktion $f_{o}:[a,b]\to \mathbb {R}$ ist nicht stetig und daher $f_{0}\notin V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ mit $[a,b]:=[-4,7]$.

${\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lcl}4&{\mbox{ für }}&x\in [-1,4]\\0&{\mbox{ sonst }}&\end{array}}\right.\\\end{array}}$

Vervollständigung des Funktionenraumen

Die folgende Funktion $f_{o}:[a,b]\to \mathbb {R}$ ist ein Element der Vervollständigung ${\overline {V_{1}}}$ von $V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in der Norm $\|f\|:={\sqrt {\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx}}$ gegen $f_{0}\in {\overline {V_{1}}}$ konvergiert!

Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen

Analog kann mit $\mathbb {R}$ dieses obige Beispiel auf einen einen $\mathbb {C}$-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen $\mathbb {C}$-Vektorraum $V_{2}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ über die Definition des Skalarproduktes:

$\displaystyle \langle f,g\rangle _{n}=\int _{-n}^{+n}{\overline {f(x)}}\cdot g(x)\,{\rm {d}}x$

Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion

Berechnen Sie von $f(x)=x+i\cdot x^{2}$ mit $f\in V_{2}$ allgemein den Wert der Halbnorm $\|f\|_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$

Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen

Berechnen Sie von $f(x)=x+i\cdot x^{2}$ und $g(x)=i\cdot x+1$ mit $f,g\in V_{2}$ den Wert der Semiskalarproduktes $\langle f,g\rangle _{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Semiorthogonalität in Semihilberträumen

Sei $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {A}})$ (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$. Zwei Vektoren $x,y\in V$ heißen

• $\alpha$-orthogonal in $V$ ($x{\stackrel {{}_{{}_{\alpha }}}{\bot }}y$), wenn $\langle x,y\rangle _{\alpha }=0$ und heißen
• semiorthogonal ($x{\stackrel {{}_{{}_{\mathcal {A}}}}{\bot }}y$), wenn die Bedingung $\langle x,y\rangle _{\alpha }=0$ für alle für $\alpha \in {\mathcal {A}}$ gilt.

Beispiel

Sei $V_{1}:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Vektorraum der stetigen Funktionen von $v$ nach $\mathbb {R}$. Man definiert zunächst für alle $n\in \mathbb {N}$ Abbildungen von $V_{1}\times V_{1}$ nach $\mathbb {R}$ wie folgt:

$\displaystyle \langle f,g\rangle _{n}=\int _{-n}^{+n}f(x)\cdot g(x)\,{\rm {d}}x$. Seien $f(x)=x^{2}+1$ und $g(x):=x^{3}$ als Beispielfunktion aus $V_{1}$ gegeben.

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass die Funktionen $f(x)=x^{2}+1$ und $g(x):=x^{3}$, dass bzgl. des Systems mit $\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {N} }$ semiorthogonal zueinander sind.

Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen

Seien $V_{1}$ ein topologischer Vektorraum und $V_{2}$ ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner $V:={\mathcal {C}}(V_{1},V_{2})$ die Menge der stetigen Funktionen von $V_{1}$ nach $V_{2}$, dann ist für $g\in V$ die Abbildung $\mu _{g,\alpha }:V\to \mathbb {K}$ mit

$\mu _{g,\alpha }(f):=\langle g,f\rangle _{\alpha }$

ein Maß auf $V$.

Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen $\|f\|_{\alpha }:={\sqrt {\langle f,f\rangle _{\alpha }}}$ übertragen werden.

$|\langle g,f\rangle _{\alpha }|\leq \|g\|_{\alpha }\cdot \|f\|_{\alpha }$

Beweisschritt 1 - Abschätzung

Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung nach oben ab.

$|\mu _{g,\alpha }(f)|=|\langle g,f\rangle _{\alpha }|\leq \underbrace {\|g\|_{\alpha }} _{=:M_{\alpha }}\cdot \|f\|_{\alpha }$

Die Stetigkeitskonstante aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen wird nun unmittelbar über die Halbnorm $M_{\alpha }:=\|g\|_{\alpha }$ geliefert.

Beweisschritt 2 - Linearität

Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität

$\mu _{g,\alpha }(\lambda \cdot f)=\langle g,\lambda \cdot f\rangle _{\alpha }=\lambda \cdot \langle g,f\rangle _{\alpha }=\lambda \cdot \mu _{g,\alpha }(f)$

und die Additivität

${\begin{array}{rcl}\mu _{g,\alpha }(f_{1}+f_{2})&=&\langle g,f_{1}+f_{2}\rangle _{\alpha }\\&=&\langle g,f_{1}\rangle _{\alpha }+\langle g,f_{2}\rangle _{\alpha }\\&=&\mu _{g,\alpha }(f_{1})+\mu _{g,\alpha }(f_{2})\end{array}}$

q.e.d.

Aufgabe 4

Begründen Sie, warum die Abbildung

${\widetilde {\mu }}_{g,\alpha }(f):=\langle f,g\rangle _{\alpha }$

im Allgemeinen kein Maß auf $V$ für Vektorräume über $\mathbb {C}$ ist!

Aufgabe 5

Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen.

LibreOffice-Datei: handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods

Träger von Semi-Skalarprodukten

Für Skalarprodukte $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ist gibt es nur einen Vektoren aus $V$ der die Bedingung $\langle x,x\rangle =0$ erfüllt - nämlich nur den Nullvektor $0_{V}\in V$. Im Allgemeinen ist die Menge $N_{\alpha }:=\{x\in V\,:\,\langle x,x\rangle _{\alpha }=0\}$ ein Untervektorraum von $V$. Die abgeschlossene Menge $T_{\alpha }:={\overline {V\setminus N_{\alpha }}}$ nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$

Siehe auch

• Kurs:Funktionalanalysis
• Hilbertraum

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