Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.
Das Skalarprodukt
⟨
v
,
v
⟩
{\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle }
ist stets reell und nicht negativ und somit ist die Quadratwurzel eine eindeutig bestimmte reelle Zahl. Für einen komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist es gleichgültig, ob man die Norm direkt oder über den zugrunde liegenden reellen Vektorraum bestimmt, siehe
Aufgabe .
Bei
w
=
0
{\displaystyle {}w=0}
ist die Aussage richtig. Es sei also
w
≠
0
{\displaystyle {}w\neq 0}
und damit auch
‖
w
‖
≠
0
{\displaystyle {}\Vert {w}\Vert \neq 0}
.
Damit hat man die Abschätzungen
0
≤
⟨
v
−
⟨
v
,
w
⟩
‖
w
‖
2
w
,
v
−
⟨
v
,
w
⟩
‖
w
‖
2
w
⟩
=
⟨
v
,
v
⟩
−
⟨
v
,
w
⟩
‖
w
‖
2
⟨
w
,
v
⟩
−
⟨
v
,
w
⟩
¯
‖
w
‖
2
⟨
v
,
w
⟩
+
⟨
v
,
w
⟩
⟨
v
,
w
⟩
¯
‖
w
‖
4
⟨
w
,
w
⟩
=
⟨
v
,
v
⟩
−
⟨
v
,
w
⟩
‖
w
‖
2
⟨
v
,
w
⟩
¯
−
⟨
v
,
w
⟩
¯
‖
w
‖
2
⟨
v
,
w
⟩
+
⟨
v
,
w
⟩
⟨
v
,
w
⟩
¯
‖
w
‖
2
=
⟨
v
,
v
⟩
−
⟨
v
,
w
⟩
⟨
v
,
w
⟩
¯
‖
w
‖
2
=
⟨
v
,
v
⟩
−
|
⟨
v
,
w
⟩
|
2
‖
w
‖
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}-{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}}
Multiplikation mit
‖
w
‖
2
{\displaystyle {}\Vert {w}\Vert ^{2}}
und Wurzelziehen ergibt das Resultat.
◻
{\displaystyle \Box }
Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des
Skalarprodukts .
Die Multiplikativität folgt aus
‖
λ
v
‖
2
=
⟨
λ
v
,
λ
v
⟩
=
λ
⟨
v
,
λ
v
⟩
=
λ
λ
¯
⟨
v
,
v
⟩
=
|
λ
|
2
‖
v
‖
2
.
{\displaystyle {}\Vert {\lambda v}\Vert ^{2}=\left\langle \lambda v,\lambda v\right\rangle =\lambda \left\langle v,\lambda v\right\rangle =\lambda {\overline {\lambda }}\left\langle v,v\right\rangle =\vert {\lambda }\vert ^{2}\Vert {v}\Vert ^{2}\,.}
Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir
‖
v
+
w
‖
2
=
⟨
v
+
w
,
v
+
w
⟩
=
‖
v
‖
2
+
‖
w
‖
2
+
⟨
v
,
w
⟩
+
⟨
v
,
w
⟩
¯
=
‖
v
‖
2
+
‖
w
‖
2
+
2
Re
(
⟨
v
,
w
⟩
)
≤
‖
v
‖
2
+
‖
w
‖
2
+
2
|
⟨
v
,
w
⟩
|
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+\left\langle v,w\right\rangle +{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&\leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \end{aligned}}}
Aufgrund von
Fakt
ist dies
≤
(
‖
v
‖
+
‖
w
‖
)
2
{\displaystyle {}\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}}
. Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.
◻
{\displaystyle \Box }
Mit der folgenden Aussage, der Polarisationsformel , kann man ein Skalarprodukt aus der Norm rekonstruieren.
Beweis
Siehe
Aufgabe .
◻
{\displaystyle \Box }