Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Konvergenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei die nach Fakt  (3) eindeutig bestimmte stationäre Verteilung und

Dies ist ein Untervektorraum von der Dimension . Nach Fakt  (2) hat ausschließlich nichtnegative Einträge und gehört damit nicht zu . Wegen

ist invariant unter der Matrix . Somit ist

eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume. Für jedes mit ist

nach Fakt  (2). Da die Sphäre zum Radius bezüglich jeder Norm kompakt ist, ist die induzierte Maximumsnorm von kleiner als . Nach Fakt und Fakt konvergiert daher die Folge für jedes gegen den Nullvektor.

Es sei nun ein Verteilungsvektor, den wir wegen

als

mit schreiben können. Wegen

und der Vorüberlegung konvergiert diese Folge gegen .

Zur bewiesenen Aussage