Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Konvergenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}w\in \mathbb {R} ^{n}$ die nach Fakt (3) eindeutig bestimmte stationäre Verteilung und

{}U={\left\{{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\mid \sum _{i=1}^{n}u_{i}=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,.

Dies ist ein Untervektorraum von ${}\mathbb {R} ^{n}$ der Dimension ${}n-1$ . Nach Fakt (2) hat ${}w$ ausschließlich nichtnegative Einträge und gehört damit nicht zu ${}U$ . Wegen

{}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(Mu)_{i}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\end{aligned}}

ist ${}U$ invariant unter der Matrix ${}M$ . Somit ist

{}V=U\oplus \mathbb {R} w\,

eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume. Für jedes ${}u\in U$ mit ${}\mid \mid \!u\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }=1$ ist

{}\mid \mid \!Mu\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }<1\,

nach Fakt (2). Da die Sphäre zum Radius ${}1$ bezüglich jeder Norm kompakt ist, ist die induzierte Maximumsnorm von ${}M{|}_{U}$ kleiner als ${}1$ . Nach Fakt und Fakt konvergiert daher die Folge ${}M^{n}u$ für jedes ${}u\in U$ gegen den Nullvektor.