Spur/Kommutativer Ring/Matrix/Lineare Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}R$. Dann heißt

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$

die Spur von ${}M$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}V$ ein endlicher freier Modul über ${}R$. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Modulhomomorphismus, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur von ${}\varphi$, geschrieben ${}\operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)}$.

Nach Aufgabe ist dies unabhängig von der gewählten Basis.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$-Algebra. Zu einem Element ${}f\in S$ nennt man die Spur des ${}R$-Modulhomomorphismus

$\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$

die Spur von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$-Algebra. Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ eine ${}R$-Basis von ${}S$ mit der Dualbasis ${}x_{1}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}$.

Dann gilt für die Spur zu ${}f\in S$ die Beziehung

${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{*}(x_{i}f)\,.$

Beweis

Wir setzen

${}fx_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}\,,$

die Multiplikationsmatrix zu ${}f$ ist also ${}{\left(c_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Dann ist direkt

${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{*}(fx_{i})\,.$

$\Box$