Beweis
Die Äquivalenz
folgt aus
Fakt
und die Implikation
aus
Fakt.
Es bleibt also
zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammfunktion
zum Vektorfeld
angeben. Es sei
ein Punkt derart, dass
bezüglich
sternförmig
ist. Wir definieren
über das
Wegintegral
zu
zum linearen Verbindungsweg
-
also
-

Wir müssen zeigen, dass der
Gradient
zu
gleich
ist, d.h. es ist
-

zu zeigen. Dafür können wir
annehmen und wir schreiben
statt
. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist

Dabei beruht die zweite Gleichung auf
der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation
(angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion
,
),
die vierte Gleichung auf
Aufgabe,
die fünfte Gleichung auf der Integrabilitätsbedingung, die sechste Gleichung auf der
Kettenregel
und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der
Newton-Leibniz-Formel.