Teilmenge/R^n/Sternförmig/Gradientenfeld/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz ${}(1)\Longleftrightarrow (3)$ folgt aus Fakt und die Implikation ${}(1)\Longrightarrow (2)$ aus Fakt. Es bleibt also ${}(2)\Longrightarrow (1)$ zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammfunktion ${}h$ zum Vektorfeld ${}G$ angeben. Es sei ${}P\in U$ ein Punkt derart, dass ${}U$ bezüglich ${}P$ sternförmig ist. Wir definieren ${}h(Q)$ über das Wegintegral zu ${}G$ zum linearen Verbindungsweg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+t(Q-P),$

also

${}h(Q):=\int _{\gamma }G=\int _{0}^{1}\left\langle G(\gamma (t)),Q-P\right\rangle dt\,.$

Wir müssen zeigen, dass der Gradient zu ${}h$ gleich ${}G$ ist, d.h. es ist

${}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}=G_{i}\,$

zu zeigen. Dafür können wir ${}P=0$ annehmen und wir schreiben ${}v$ statt ${}Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}h(v)&={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\int _{0}^{1}\left\langle G(tv),v\right\rangle dt\right)}\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\langle G(tv),v\right\rangle \right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\sum _{j=1}^{n}G_{j}(tv)\cdot v_{j}\right)}\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}G_{j}\right)}(tv)+G_{i}(tv)dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}G_{i}\right)}(tv)+G_{i}(tv)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t\mapsto t\cdot G_{i}(tv)\right)}^{\prime }dt\\&={\left(t\cdot G_{i}(tv)\right)}{|}_{0}^{1}\\&=G_{i}(v).\end{aligned}}$

Dabei beruht die zweite Gleichung auf der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation (angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion ${}[0,1]\times U\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(t,v)\longmapsto \left\langle G(tv),v\right\rangle$), die vierte Gleichung auf Aufgabe, die fünfte Gleichung auf der Integrabilitätsbedingung, die sechste Gleichung auf der Kettenregel und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der Newton-Leibniz-Formel.

Zur bewiesenen Aussage