Topologischer Raum/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $T$ ein topologischer Raum und sei

$f_n:T⟶𝕂,$

($n\in \mathbb{N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge kompakt konvergiert, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge  $K\subseteq T$  gleichmäßig konvergiert.

Definition

Es sei $T$ ein topologischer Raum und sei

$f_n:T⟶𝕂,$

($n\in \mathbb{N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge lokal gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

$f:T⟶𝕂$

derart gibt, dass es zu jedem Punkt  $P\in T$  eine offene Umgebung  $P\in U\subseteq T$  derart gibt, dass $f_n{|}_U$ gleichmäßig gegen $f{|}_U$ konvergiert.

Lemma

Es sei  $T\subseteq {ℝ}^d$  eine offene Teilmenge und sei

$f_n:T⟶𝕂,$

($n\in \mathbb{N}$) eine Folge von Funktionen.

Dann ist die Funktionenfolge genau dann kompakt konvergent, wenn sie lokal gleichmäßig konvergent ist.

Beweis

Es sei $f_n$ kompakt konvergent und sei  $P\in T$.  Zu einer offenen Ballumgebung  $P\in U(P,r)\subset U(P,s)\subseteq T$  ist der abgeschlossene Ball $B(P,r)$ kompakt. Die gleichmäßige Konvergenz darauf überträgt sich auf die offene Teilmenge. Sei umgekehrt angenommen, dass lokal gleichmäßige Konvergenz vorliegt, und sei  $K\subseteq T$  eine kompakte Teilmenge. Es gibt dann eine endliche Überdeckung  $K\subseteq \bigcup _{i=1}^m{U}_i$  mit in $T$ offenen Teilmengen $U_i$ derart, dass die Funktionenfolge auf jedem $U_i$ gleichmäßig konvergiert. Dies überträgt sich auf die endliche Vereinigung und damit auch auf $K$.

$◻$