Totale Differenzierbarkeit/Linearform/Bilinearform/Textabschnitt
Zu offen und einer reellwertigen Funktion
interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der Ableitungen (falls diese existieren) erkennen kann. Wenn eine solche Funktion total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von nach . Für solche linearen Abbildungen gibt es einen eigenen Namen.
Das totale Differential zu ist also eine Linearform.
Wenn ist, so bilden die partiellen Ableitungen in einem Punkt eine Matrix mit einer einzigen Zeile, nämlich
die bei stetigen partiellen Ableitungen das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso gut als ein -Tupel in und damit als einen Vektor über auffassen. Dieser Zusammenhang zwischen Vektoren und Linearformen beruht auf dem Standardskalarprodukt des , und lässt sich konzeptioneller mit Hilfe von Bilinearformen erfassen.
Definition
Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Eine Abbildung
heißt Bilinearform, wenn für alle die induzierten Abbildungen
und für alle die induzierten Abbildungen
-linear sind.
Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert.
Definition
Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Eine Bilinearform
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle , die induzierten Abbildungen
und für alle , die induzierten Abbildungen
nicht die Nullabbildung sind.