Totale Differenzierbarkeit/Linearform/Bilinearform/Textabschnitt

Aus Wikiversity

Zu offen und einer reellwertigen Funktion

interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der Ableitungen (falls diese existieren) erkennen kann. Wenn eine solche Funktion total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von nach . Für solche linearen Abbildungen gibt es einen eigenen Namen.


Definition  

Es sei ein Körper und sei ein -Vektorraum. Eine lineare Abbildung

heißt eine Linearform auf .

Das totale Differential zu ist also eine Linearform.


Definition  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum

der Dualraum zu .

Wenn ist, so bilden die partiellen Ableitungen in einem Punkt eine Matrix mit einer einzigen Zeile, nämlich

die bei stetigen partiellen Ableitungen das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso gut als ein -Tupel in und damit als einen Vektor über auffassen. Dieser Zusammenhang zwischen Vektoren und Linearformen beruht auf dem Standardskalarprodukt des , und lässt sich konzeptioneller mit Hilfe von Bilinearformen erfassen.


Definition  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Eine Abbildung

heißt Bilinearform, wenn für alle die induzierten Abbildungen

und für alle die induzierten Abbildungen

-linear sind.

Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert.


Definition  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Eine Bilinearform

heißt nicht ausgeartet, wenn für alle , die induzierten Abbildungen

und für alle , die induzierten Abbildungen

nicht die Nullabbildung sind.