Beweis
Da
trigonalisierbar ist, können wir
Fakt
anwenden. Es gibt also eine direkte Summenzerlegung
-
![{\displaystyle {}V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \cdots \oplus \operatorname {Haupt} _{\lambda _{m}}(\varphi )\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df42ee6f50d22e36ce59cf88d5663b1f53c5d8fb)
wobei die Haupträume
-invariant
sind. Indem wir die Situation auf den einzelnen
Haupträumen
analysieren, können wir davon ausgehen, dass
nur einen Eigenwert
besitzt und
-
![{\displaystyle {}V=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e38e0e8bd56629a65039f25ba57538d580b8b82)
ist. Es ist dann
-
![{\displaystyle {}\psi =\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08fea4540d327374c00aae585b91fd8b33397c1)
nilpotent.
Daher gibt es nach
Fakt
eine Basis, bezüglich der
die Gestalt
-
besitzt, wobei die
gleich
oder gleich
sind. Bezüglich dieser Basis hat
-
![{\displaystyle {}\varphi =\psi +\lambda \operatorname {Id} _{V}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccfd5f977d6ae93ec8bc0f86e10db2a66ce1eaf)
die Gestalt
-