Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt/Beweis

Beweis

Da $\phi$ trigonalisierbar ist, können wir Fakt anwenden. Es gibt also eine direkte Summenzerlegung

$V={\mathrm{Haupt}}_{{\lambda }_1}(\phi )\oplus \cdots \oplus {\mathrm{Haupt}}_{{\lambda }_m}(\phi ),$

wobei die Haupträume $\phi$-invariant sind. Indem wir die Situation auf den einzelnen Haupträumen analysieren, können wir davon ausgehen, dass $\phi$ nur einen Eigenwert $\lambda$ besitzt und

$V={\mathrm{Haupt}}_{\lambda }(\phi )$

ist. Es ist dann

$\psi =\phi -\lambda {\mathrm{Id}}_V$

nilpotent. Daher gibt es nach Fakt eine Basis, bezüglich der $\psi$ die Gestalt

$\left(\begin{array}{cccccc}0& c_1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& 0& c_2& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& c_{n-2}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 0& c_{n-1}\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0& 0\end{array}\right)$

besitzt, wobei die $c_i$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind. Bezüglich dieser Basis hat

$\phi =\psi +\lambda {\mathrm{Id}}_V$

die Gestalt

$\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & c_1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& \lambda & c_2& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& \lambda & c_{n-2}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& \lambda & c_{n-1}\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0& \lambda \end{array}\right).$

Zur bewiesenen Aussage