Vektorraum/C/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Spektralsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$, wobei die ${}u_{i}$ Eigenvektoren zu ${}\varphi$ seien. Die beschreibende Matrix ${}M$ ist dann eine Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge die Eigenwerte sind. Nach Fakt wird der adjungierte Endomorphismus durch die konjugiert-transponierte Matrix beschrieben. Daher ist diese ebenfalls eine Diagonalmatrix und damit mit ${}M$ vertauschbar. Also ist ${}\varphi$ normal.

Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über die Dimension von ${}V$. Es sei also ${}\varphi$ normal. Der eindimensionale Fall ist klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es einen Eigenvektor ${}v\in V$ von ${}\varphi$, den wir als normiert annehmen können. Nach Fakt  (2) ist ${}v$ auch ein Eigenvektor zu ${}{\hat {\varphi }}$. Daraus folgt mit Fakt, dass ${}W={\mathbb {C} }v^{\perp }$ invariant unter ${}\varphi$ ist. Die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}W$ ist wieder normal und die Induktionsvoraussetzung liefert die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage