Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Sternförmig/Exakt und geschlossen/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz ${}(1)\Longleftrightarrow (3)$ folgt aus Fakt und die Implikation ${}(1)\Longrightarrow (2)$ aus Fakt. Es bleibt also ${}(2)\Longrightarrow (1)$ zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammform ${}\varphi$ zur Differentialform ${}\omega$ angeben. Es sei ${}P\in U$ ein Punkt derart, dass ${}U$ bezüglich ${}P$ sternförmig ist. Wir definieren ${}\varphi (Q)$ über das Wegintegral zu ${}\omega$ zum linearen Verbindungsweg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+t(Q-P),$

also

${}\varphi (Q):=\int _{\gamma }\omega =\int _{0}^{1}\omega (\gamma (t),Q-P)dt\,.$

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ mit den Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ und ohne Einschränkung sei ${}W=\mathbb {R}$. Wir schreiben

${}\omega =\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}dx_{j}\,$

mit stetig differenzierbaren Funktionen ${}\psi _{j}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Wir müssen zeigen, dass die partiellen Ableitungen zu ${}\varphi$ in ${}Q$ gleich ${}\omega (Q,v_{i})=\psi _{i}(Q)$ sind. Dafür können wir ${}P=0$ annehmen und wir schreiben ${}z$ statt ${}Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\varphi (z)&={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\int _{0}^{1}\omega (tz,z)dt\right)}\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\omega (tz,z)\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\left(\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}(tz)\cdot z_{j}\right)}\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}z_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\psi _{j}\right)}(tz)+\psi _{i}(tz)dt\\&=\int _{0}^{1}t\sum _{j=1}^{n}z_{j}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi _{i}\right)}(tz)+\psi _{i}(tz)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t\mapsto t\cdot \psi _{i}(tz)\right)}^{\prime }dt\\&={\left(t\cdot \psi _{i}(tz)\right)}{|}_{0}^{1}\\&=\psi _{i}(z).\end{aligned}}$

Dabei beruht die zweite Gleichung auf der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation (angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion ${}[0,1]\times U\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(t,z)\longmapsto \omega (tz,z)$), die fünfte Gleichung auf der Geschlossenheit, die sechste Gleichung auf der Kettenregel und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der Newton-Leibniz-Formel.

Zur bewiesenen Aussage