Vektorraum/Tensorprodukt/Dualraum/Beziehung/Fakt/Beweis

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Beweis

Für fixierte Linearformen ist die Abbildung

nach Aufgabe multilinear und definiert daher eine Linearform auf . Dies ergibt die Abbildung

Diese Gesamtzuordnung ist ebenfalls multilinear und ergibt somit eine lineare Abbildung

Nach Fakt und Fakt haben die Räume die gleiche Dimension. Es seien , , Basen der . Dann bilden die nach Fakt  (3) eine Basis von und die Dualbasis dazu eine Basis des Dualraumes. Wir behaupten die Gleichheit der linearen Abbildungen

Diese ergibt sich, da beide Abbildungen, angewendet auf die Basiselemente , bei den Wert und andernfalls den Wert ergeben. Daher ist surjektiv und damit auch injektiv.

Zur bewiesenen Aussage