Vektorraum/Tensorprodukt/Dualraum/Beziehung/Fakt/Beweis

Beweis

Für fixierte Linearformen ${}f_{1}\in {V_{1}}^{*},\ldots ,f_{n}\in {V_{n}}^{*}$ ist die Abbildung

$V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n}),$

nach Aufgabe multilinear und definiert daher eine Linearform auf ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$. Dies ergibt die Abbildung

$\Psi \colon {V_{1}}^{*}\times \cdots \times {V_{n}}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)}^{*},\,(f_{1},\ldots ,f_{n})\longmapsto {\left((v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n})\mapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})\right)}.$

Diese Gesamtzuordnung ${}\Psi$ ist ebenfalls multilinear und ergibt somit eine lineare Abbildung

${V_{1}}^{*}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{V_{n}}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)}^{*}$

Nach Fakt und Fakt haben die Räume die gleiche Dimension. Es seien ${}v_{ij}$, ${}1\leq j\leq \dim _{K}{\left(V_{i}\right)}$, Basen der ${}V_{i}$. Dann bilden die ${}v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}$ nach Fakt  (3) eine Basis von ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$ und die Dualbasis dazu eine Basis des Dualraumes. Wir behaupten die Gleichheit der linearen Abbildungen

${}\Psi (v_{1j_{1}}^{*}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}^{*})={\left(v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}\right)}^{*}\,.$

Diese ergibt sich, da beide Abbildungen, angewendet auf die Basiselemente ${}v_{1k_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nk_{n}}$, bei ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})=(j_{1},\ldots ,j_{n})$ den Wert ${}1$ und andernfalls den Wert ${}0$ ergeben. Daher ist ${}\Psi$ surjektiv und damit auch injektiv.

Zur bewiesenen Aussage