Zahlbereich/Element/Norm/Textabschnitt

Nach Fakt ist die Norm eines Elementes eines Zahlbereiches ganzzahlig.

Lemma

Es sei $R$ der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq L$. 

Dann ist  $f\in R$  genau dann eine Einheit, wenn  $N(f)=\pm 1$  ist.

Beweis

Wenn  $f\in R$  eine Einheit ist, so ist  $fg=1$  mit einem  $g\in R$  und aus der Multiplikativität der Norm folgt

$N(f)N(g)=N(1)=1,$

woraus nach Fakt  $N(f)=\pm 1$  folgt. Die Umkehrung folgt aus Fakt und daraus, dass dann die Multiplikationsabbildung zu $f$ auf  $R\cong {\mathbb{Z}}^n$  bijektiv ist.

$◻$

Lemma

Es sei $R$ ein Zahlbereich vom Grad $d$ und  $n\in \mathbb{Z}$. 

Dann ist die Norm von $n$ in $R$ gleich $n^d$.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$◻$